Encontre todos os valores de k para os quais a equação diferencial y''(t) + k y'(t) + k y(t) = 0 tenha uma solução geral da forma dada:
(a) y(t) = c1 e^(a t) + c2 e^(b t)

Passo 1

Beleza, então vamos entender o que foi pedido. A gente tem uma equação diferencial do tipo:
E queremos encontrar todos os valores de para os quais essa equação tenha uma solução geral da forma:
Aqui, e são constantes, e e são números que vão determinar o comportamento da solução. Vamos usar equações diferenciais de coeficientes constantes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica dessa equação diferencial. Para uma equação do tipo:
A equação característica é:
No nosso caso, e , então a equação característica fica:

Passo 3

Sabemos que as soluções da equação diferencial dependem das raízes dessa equação característica. Se as raízes são e , então a solução geral será:
Como estamos procurando por essa forma de solução, vamos considerar que e são as raízes da equação característica.

Passo 4

Vamos agora relacionar os coeficientes da equação característica com as raízes e . Usando a fórmula de Vieta para equações quadráticas:
Então temos duas equações:

Passo 5

Vamos resolver essas equações para encontrar em termos de e . Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Rearranjando:
Fatorando:

Passo 6

A partir da relação , podemos expressar em termos de e . Mas, como queremos todos os valores possíveis de , observamos que não há restrição específica além dessa relação. Portanto, para qualquer par e que satisfaça , existe um valor de dado por:

Resposta

Todos os valores de são dados por , onde e satisfazem . Portanto, os valores de para os quais a equação diferencial tem uma solução geral da forma são:

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