Encontre todos os valores de
para os quais a equação diferencial
tenha uma solução geral da forma dada:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, então vamos entender o que foi pedido. A gente tem uma equação diferencial do tipo:
E queremos encontrar todos os valores de
para os quais essa equação tenha uma solução geral da forma:
Aqui,
e
são constantes, e
e
são números que vão determinar o comportamento da solução. Vamos usar equações diferenciais de coeficientes constantes para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica dessa equação diferencial. Para uma equação do tipo:
A equação característica é:
No nosso caso,
e
, então a equação característica fica:
Passo 3
Sabemos que as soluções da equação diferencial dependem das raízes dessa equação característica. Se as raízes são
e
, então a solução geral será:
Como estamos procurando por essa forma de solução, vamos considerar que
e
são as raízes da equação característica.
Passo 4
Vamos agora relacionar os coeficientes da equação característica com as raízes
e
. Usando a fórmula de Vieta para equações quadráticas:
Então temos duas equações:
Passo 5
Vamos resolver essas equações para encontrar
em termos de
e
. Da primeira equação:
Substituindo
na segunda equação:
Rearranjando:
Fatorando:
Passo 6
A partir da relação
, podemos expressar
em termos de
e
. Mas, como queremos todos os valores possíveis de
, observamos que não há restrição específica além dessa relação. Portanto, para qualquer par
e
que satisfaça
, existe um valor de
dado por:
Resposta
Todos os valores de
são dados por
, onde
e
satisfazem
. Portanto, os valores de
para os quais a equação diferencial
tem uma solução geral da forma
são: