Encontre uma curva no plano xy que passe por
e cuja reta tangente em um ponto
tenha inclinação
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar uma curva no plano xy que passe pelo ponto (0,3) e que, em qualquer ponto (x, y) dessa curva, a reta tangente tenha inclinação dada por
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente equações diferenciais que relacionam a derivada da função com a inclinação da tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a inclinação da reta tangente a uma curva em um ponto é dada pela derivada da função nesse ponto. Ou seja, se temos
, então a inclinação da tangente em
é
. No nosso caso, a inclinação é
. Então podemos escrever:
Passo 3
Agora, essa é uma equação diferencial que podemos resolver. Para facilitar, vamos separar as variáveis
e
. Vamos multiplicar ambos os lados por
e por
:
Passo 4
Com as variáveis separadas, vamos integrar ambos os lados para encontrar a função
. A integral de
é:
E a integral de
é:
Passo 5
Igualando as integrais, temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Para encontrar o valor de
, usamos o ponto pelo qual a curva deve passar, que é
. Substituindo
e
na equação:
Passo 7
Com o valor de
determinado, nossa equação fica:
Multiplicando ambos os lados por 3 para simplificar:
Resposta
A curva procurada é dada por: