Encontre uma curva no plano xy que passe por 0,3 e cuja reta tangente em um ponto (x, y) tenha inclinação 2 x / y^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar uma curva no plano xy que passe pelo ponto (0,3) e que, em qualquer ponto (x, y) dessa curva, a reta tangente tenha inclinação dada por . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente equações diferenciais que relacionam a derivada da função com a inclinação da tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a inclinação da reta tangente a uma curva em um ponto é dada pela derivada da função nesse ponto. Ou seja, se temos , então a inclinação da tangente em é . No nosso caso, a inclinação é . Então podemos escrever:

Passo 3

Agora, essa é uma equação diferencial que podemos resolver. Para facilitar, vamos separar as variáveis e . Vamos multiplicar ambos os lados por e por :

Passo 4

Com as variáveis separadas, vamos integrar ambos os lados para encontrar a função . A integral de é:
E a integral de é:

Passo 5

Igualando as integrais, temos:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Para encontrar o valor de , usamos o ponto pelo qual a curva deve passar, que é . Substituindo e na equação:

Passo 7

Com o valor de determinado, nossa equação fica:
Multiplicando ambos os lados por 3 para simplificar:

Resposta

A curva procurada é dada por:

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