Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve uma integral dupla. O enunciado pede para avaliar a integral . Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre integrais duplas e propriedades de funções ímpares e pares. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos entender como resolver uma integral dupla. Geralmente, a gente pode integrar primeiro em relação a uma variável e depois na outra. No nosso caso, a ordem está dada: primeiro em de a , depois em de a .
Passo 3
Vamos olhar para a parte interna da integral: . Note que é uma constante em relação a , então podemos fatorá-lo para fora da integral:
Passo 4
Agora, vamos focar na integral . Para resolver isso, podemos fazer uma substituição. Vamos deixar , então e . Substituindo na integral:
Passo 5
A integral pode ser resolvida por partes. Lembre-se que, pela regra de integração por partes, . Aqui, vamos deixar e . Então, e .
Aplicando:
Mas como estamos calculando uma integral definida de a , podemos ignorar a constante .
Passo 6
Voltando às substituições, temos:
Vamos calcular nos limites:
Para - raizpi/2 cos raizpi/2 + sin raizpi/2 :
- 0 cdot cos 0 + sin 0 = 0
Para 2 ( - raizpi/2 cos raizpi/2 + sin raizpi/2 ) :
Então, a integral interna fica:
Passo 7
Agora, voltando à integral externa, temos:
integral-1^1 x cdot 2 ( - raizpi/2 cos raizpi/2 + sin raizpi/2 ) dx
Perceba que tudo dentro do parênteses é uma constante em relação a 2 ( - raizpi/2 cos raizpi/2 + sin raizpi/2 ) integral-1^1 x , dx , então podemos fatorar:
Passo 8
Agora, temos que calcular integral-1^1 x , dx = 0 . Sabemos que a função é uma função ímpar, ou seja, . Quando integramos uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero, o resultado é zero. Então: