Evaluate integral-1^1 integral0^pi / 2 x sin raizy d y d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve uma integral dupla. O enunciado pede para avaliar a integral . Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre integrais duplas e propriedades de funções ímpares e pares. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender como resolver uma integral dupla. Geralmente, a gente pode integrar primeiro em relação a uma variável e depois na outra. No nosso caso, a ordem está dada: primeiro em de a , depois em de a .

Passo 3

Vamos olhar para a parte interna da integral: x integral0^pi / 2 sin raizy , dy . Note que é uma constante em relação a , então podemos fatorá-lo para fora da integral:

Passo 4

Agora, vamos focar na integral integral sin u cdot 2u , du = 2 integral u sin u , du . Para resolver isso, podemos fazer uma substituição. Vamos deixar , então e . Substituindo na integral:

Passo 5

A integral 2 ( -u cos u + integral cos u , du ) = 2 ( -u cos u + sin u ) + C pode ser resolvida por partes. Lembre-se que, pela regra de integração por partes, . Aqui, vamos deixar e . Então, e .
Aplicando:
Mas como estamos calculando uma integral definida de a , podemos ignorar a constante .

Passo 6

Voltando às substituições, temos:
2 ( -raizy cos raizy + sin raizy ) g|0^pi/2
Vamos calcular nos limites:
Para - raizpi/2 cos raizpi/2 + sin raizpi/2 :
- 0 cdot cos 0 + sin 0 = 0
Para 2 ( - raizpi/2 cos raizpi/2 + sin raizpi/2 ) :
Então, a integral interna fica:

Passo 7

Agora, voltando à integral externa, temos:
integral-1^1 x cdot 2 ( - raizpi/2 cos raizpi/2 + sin raizpi/2 ) dx
Perceba que tudo dentro do parênteses é uma constante em relação a 2 ( - raizpi/2 cos raizpi/2 + sin raizpi/2 ) integral-1^1 x , dx , então podemos fatorar:

Passo 8

Agora, temos que calcular integral-1^1 x , dx = 0 . Sabemos que a função é uma função ímpar, ou seja, . Quando integramos uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero, o resultado é zero. Então:

Resposta

Portanto, o valor da integral dupla é 0.

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