Expresse a solução do problema de valor inicial dado em função de uma convolução.
17.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente resolver uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais e expressar a solução em função de uma convolução. Isso está no campo de Equações Diferenciais Lineares e vamos usar Transformadas de Laplace e o conceito de Convolução pra resolver. Precisamos entender como aplicar a transformada de Laplace nessa equação e depois usar a convolução para obter a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Laplace transforma equações diferenciais no domínio do tempo para o domínio da frequência (s). Isso facilita a resolução porque equações diferenciais se tornam equações algébricas.
A equação dada é:
Com condições iniciais:
Passo 3
Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação:
Sabemos que:
Substituindo:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão:
Agrupando os termos com Y(s):
Passo 5
Isolando Y(s):
Podemos fatorar o denominador:
Então:
Passo 6
Vamos separar a fração para facilitar a inversão:
A segunda parte podemos simplificar:
Passo 7
Aplicando a transformada inversa de Laplace:
Sabemos que:
Aplicando isso:
Passo 8
A primeira parte da solução envolve a convolução. Sabemos que:
Então, substituindo na expressão de y(t):
Resposta
A solução do problema de valor inicial é dada por
em função de uma convolução.
Exercícios relacionados
Se
, mostre que existe
tal que
.
Verifique se as funções abaixo possuem assíntota horizontal.
c) .
c)
(a) Considere a equação
. Mostre que as raízes da equação característica são
, de modo que uma solução da equação é
.
(b) Use a fórmula de Abel [Eq. (23) da Seção 3.2] para mostrar que o wronskiano de duas soluções quaisquer da equação dada é
(b) Use a fórmula de Abel [Eq. (23) da Seção 3.2] para mostrar que o wronskiano de duas soluções quaisquer da equação dada é
em que
é constante.
© Seja e use o resultado do item (b) para obter uma equação diferencial satisfeita por uma segunda solução
. Resolvendo essa equação, mostre que
.
© Seja
Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
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