Expresse a solução do problema de valor inicial dado em função de uma convolução.
17.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente resolver uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais e expressar a solução em função de uma convolução. Isso está no campo de Equações Diferenciais Lineares e vamos usar Transformadas de Laplace e o conceito de Convolução pra resolver. Precisamos entender como aplicar a transformada de Laplace nessa equação e depois usar a convolução para obter a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Laplace transforma equações diferenciais no domínio do tempo para o domínio da frequência (s). Isso facilita a resolução porque equações diferenciais se tornam equações algébricas.
A equação dada é:
Com condições iniciais:

Passo 3

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação:
Sabemos que:
Substituindo:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão:
Agrupando os termos com Y(s):

Passo 5

Isolando Y(s):
Podemos fatorar o denominador:
Então:

Passo 6

Vamos separar a fração para facilitar a inversão:
A segunda parte podemos simplificar:

Passo 7

Aplicando a transformada inversa de Laplace:
Sabemos que:
Aplicando isso:

Passo 8

A primeira parte da solução envolve a convolução. Sabemos que:
Então, substituindo na expressão de y(t):

Resposta

A solução do problema de valor inicial é dada por
em função de uma convolução.

Exercícios relacionados

Se , mostre que existe tal que .
Verifique se as funções abaixo possuem assíntota horizontal.
c) .
(a) Considere a equação . Mostre que as raízes da equação característica são , de modo que uma solução da equação é .
(b) Use a fórmula de Abel [Eq. (23) da Seção 3.2] para mostrar que o wronskiano de duas soluções quaisquer da equação dada é
em que é constante.
© Seja e use o resultado do item (b) para obter uma equação diferencial satisfeita por uma segunda solução . Resolvendo essa equação, mostre que .
Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
22.