Se
, mostre que existe
tal que
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos mostrar que existe algum número
tal que
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que nos ajuda a encontrar raízes de funções contínuas.
Passo 2
O Teorema do Valor Intermediário diz que se uma função é contínua em um intervalo
e assume valores de sinais opostos nos extremos desse intervalo (ou seja,
é positivo e
é negativo, ou vice-versa), então existe pelo menos um ponto
em
onde
.
Passo 3
Vamos escolher dois valores de
para avaliar a função e verificar os sinais:
-
Para
: Aqui,(negativo). -
Para
: Aqui,(positivo).
Como
é negativo e
é positivo, temos sinais opostos nos extremos do intervalo
.
Passo 4
Aplicando o Teorema do Valor Intermediário, já que
é contínua (porque é um polinômio) e muda de sinal no intervalo
, podemos concluir que existe pelo menos um número
nesse intervalo tal que
.
Resposta
Existe um número
no intervalo
tal que
.
Exercícios relacionados
Verifique se as funções abaixo possuem assíntota horizontal.
c) .
c)
Encontre a transformada de Laplace da função dada.
30.
.
30.
Expresse a solução do problema de valor inicial dado em função de uma convolução.
17.
17.
(a) Considere a equação
. Mostre que as raízes da equação característica são
, de modo que uma solução da equação é
.
(b) Use a fórmula de Abel [Eq. (23) da Seção 3.2] para mostrar que o wronskiano de duas soluções quaisquer da equação dada é
(b) Use a fórmula de Abel [Eq. (23) da Seção 3.2] para mostrar que o wronskiano de duas soluções quaisquer da equação dada é
em que
é constante.
© Seja e use o resultado do item (b) para obter uma equação diferencial satisfeita por uma segunda solução
. Resolvendo essa equação, mostre que
.
© Seja