Se f(x) = x^5 - x^2 + 2x + 3, mostre que existe c tal que f(c) = 0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos mostrar que existe algum número tal que . Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que nos ajuda a encontrar raízes de funções contínuas.

Passo 2

O Teorema do Valor Intermediário diz que se uma função é contínua em um intervalo e assume valores de sinais opostos nos extremos desse intervalo (ou seja, é positivo e é negativo, ou vice-versa), então existe pelo menos um ponto em onde .

Passo 3

Vamos escolher dois valores de para avaliar a função e verificar os sinais:
  • Para :
    Aqui, (negativo).
  • Para :
    Aqui, (positivo).
Como é negativo e é positivo, temos sinais opostos nos extremos do intervalo .

Passo 4

Aplicando o Teorema do Valor Intermediário, já que é contínua (porque é um polinômio) e muda de sinal no intervalo , podemos concluir que existe pelo menos um número nesse intervalo tal que .

Resposta

Existe um número no intervalo tal que .

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