Determine se os conjuntos de vetores a seguir são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD). Encontre uma parametrização para os vetores do espaço gerado e, se possível, identifique o tipo de espaço que geram. v1=(2,-1,3,5), v2=(-1,3,-4,2), v3=(7,-1,5,-6) in R^3;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui são três vetores:
v1 = (2, -1, 3, 5), v2 = (-1, 3, -4, 2), v3 = (7, -1, 5, -6)
e o objetivo é descobrir se esses vetores são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD). Além disso, queremos encontrar uma parametrização para o espaço que eles geram e, se der, identificar que tipo de espaço é esse. Vamos usar conceitos de álgebra linear, como combinação linear e sistemas lineares, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ser linearmente independente ou dependente. Três vetores são linearmente independentes se a única combinação linear que dá o vetor zero é quando todos os coeficientes são zero. Se existir uma combinação não trivial (com pelo menos um coeficiente diferente de zero) que dê o vetor zero, então os vetores são linearmente dependentes.
Matematicamente, queremos ver se existe c1 v1 + c2 v2 + c3 v3 = 0 tal que:
onde é o vetor zero.

Passo 3

Vamos montar esse sistema de equações. Para cada componente dos vetores, temos:
2c1 - c2 + 7c3 = 0 -1c1 + 3c2 - c3 = 0 3c1 - 4c2 + 5c3 = 0 5c1 + 2c2 - 6c3 = 0
Agora, precisamos resolver esse sistema para ver se a única solução é .

Passo 4

Vamos representar o sistema na forma matricial A = 2 & -1 & 7 -1 & 3 & -1 3 & -4 & 5 5 & 2 & -6 , c = c1 c2 c3 , onde é a matriz dos coeficientes:
Para resolver, podemos usar o método da matriz aumentada e realizar operações para simplificar.

Passo 5

Vamos montar a matriz aumentada e fazer as operações de escalonamento:
[ccc|c] 2 & -1 & 7 & 0 -1 & 3 & -1 & 0 3 & -4 & 5 & 0 5 & 2 & -6 & 0
Primeiro, vamos multiplicar a primeira linha por [ccc|c] 1 & -0.5 & 3.5 & 0 -1 & 3 & -1 & 0 3 & -4 & 5 & 0 5 & 2 & -6 & 0 para facilitar:
Agora, vamos eliminar o das outras linhas:
  • Linha 2 = Linha 2 + Linha 1
  • Linha 3 = Linha 3 - 3 * Linha 1
  • Linha 4 = Linha 4 - 5 * Linha 1

Passo 6

Após as operações:
[ccc|c] 1 & -0.5 & 3.5 & 0 0 & 2.5 & 2.5 & 0 0 & -2.5 & -5.5 & 0 0 & 4.5 & -23.5 & 0
Agora, vamos simplificar a segunda linha dividindo por [ccc|c] 1 & -0.5 & 3.5 & 0 0 & 1 & 1 & 0 0 & -2.5 & -5.5 & 0 0 & 4.5 & -23.5 & 0 :
Em seguida, elimino o das linhas 3 e 4:
  • Linha 3 = Linha 3 + 2.5 * Linha 2
  • Linha 4 = Linha 4 - 4.5 * Linha 2

Passo 7

Após essas operações:
[ccc|c] 1 & -0.5 & 3.5 & 0 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & -3 & 0 0 & 0 & -28 & 0
Agora, a terceira linha nos dá , então .
Substituindo de volta:
  • Da segunda linha:
  • Da primeira linha:

Resposta

Como a única solução é , os vetores são linearmente independentes (LI). Portanto, eles geram um espaço tridimensional em .

Exercícios relacionados

Verifique se os operadores lineares T: R^3 R^3 são diagonalizáveis. Represente a matriz diagonal se o operador for diagonalizável.
T(x, y, z)=(3 x-4 z, 3 y+5 z,-z)
Considere a equação de segundo grau nas variáveis x e y, com A neq 0 :
A x^2+A y^2+B x+C y+D=0
a) Mostre que a equação representa:
(i) um círculo se e só se B^2+C^2-4 A D>0;
(ii) um ponto se e só se B^2+C^2-4 A D=0;
(iii) o conjunto vazio se e só se B^2+C^2-4 A D<0.
b) Decida se cada uma das equações abaixo define um círculo, um ponto ou o conjunto vazio:
(i) 2 x^2+2 y^2-3 x+y-1=0
(iii) x^2+y^2-10 x+2 y+26=0
(ii) -x^2-y^2+6 x-4 y+3=0
(iv) 4 x^2+4 y^2-4 x-8 y+21=0
Determine se os conjuntos de vetores a seguir são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD). Encontre uma parametrização para os vetores do espaço gerado e, se possível, identifique o tipo de espaço que geram. v1=1+5 x+3 x^2, v2=6 x, v3=1+4 x^2 in P^2 ;
Determine se os conjuntos de vetores a seguir são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD). Encontre uma parametrização para os vetores do espaço gerado e, se possível, identifique o tipo de espaço que geram. v1=1+3 x^2, v2=4 x^2 in P^3 ;