Determine se os conjuntos de vetores a seguir são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD). Encontre uma parametrização para os vetores do espaço gerado e, se possível, identifique o tipo de espaço que geram. ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui são três vetores:
e o objetivo é descobrir se esses vetores são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD). Além disso, queremos encontrar uma parametrização para o espaço que eles geram e, se der, identificar que tipo de espaço é esse. Vamos usar conceitos de álgebra linear, como combinação linear e sistemas lineares, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ser linearmente independente ou dependente. Três vetores são linearmente independentes se a única combinação linear que dá o vetor zero é quando todos os coeficientes são zero. Se existir uma combinação não trivial (com pelo menos um coeficiente diferente de zero) que dê o vetor zero, então os vetores são linearmente dependentes.
Matematicamente, queremos ver se existe c1 v1 + c2 v2 + c3 v3 = 0 tal que:
onde é o vetor zero.
Passo 3
Vamos montar esse sistema de equações. Para cada componente dos vetores, temos: