Verifique se os operadores lineares são diagonalizáveis. Represente a matriz diagonal se o operador for diagonalizável.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se um operador linear é diagonalizável e, se for, mostrar a matriz diagonal correspondente. Aqui, a matriz de é dada por:
Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com conceitos de álgebra linear, como autovalores, autovetores e a diagonalização de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a matriz associada ao operador linear . Observando a transformação dada, podemos escrever a matriz de da seguinte forma:
Essa matriz representa como atua nos vetores de .
Passo 3
Agora, para verificar se det(A - lambda I) = 0 é diagonalizável, precisamos encontrar os autovalores da matriz. Os autovalores são encontrados resolvendo a equação característica:
Onde é a matriz identidade e representa os autovalores. Vamos calcular isso passo a passo.
Então, os autovalores de lambda1 = 3 (com mu são 3 (com multiplicidade 2) e -1.
Passo 6
Para a matriz ser diagonalizável, é necessário que o número de autovetores seja igual à dimensão do espaço, ou seja, que cada autovalor tenha um número de autovetores igual à sua multiplicidade. Vamos verificar isso encontrando os autovetores para cada autovalor.
Resolvendo o sistema, encontramos que os autovetores correspondentes são múltiplos de:
Então, para , temos um autovetor.
Passo 9
Agora, vamos contar os autovetores independentes: temos um para e um para , totalizando dois autovetores. Entretanto, a dimensão do espaço é 3, então precisamos de três autovetores para que a matriz seja diagonalizável.
Passo 10
Como não conseguimos encontrar três autovetores independentes (faltando um para ), concluímos que a matriz não é diagonalizável.