Verifique se os operadores lineares T: R^3 R^3 são diagonalizáveis. Represente a matriz diagonal se o operador for diagonalizável.
T(x, y, z)=(3 x-4 z, 3 y+5 z,-z)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se um operador linear T(x, y, z) = (3x - 4z, 3y + 5z, -z) é diagonalizável e, se for, mostrar a matriz diagonal correspondente. Aqui, a matriz de é dada por:
Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com conceitos de álgebra linear, como autovalores, autovetores e a diagonalização de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a matriz associada ao operador linear A = 3 & 0 & -4 0 & 3 & 5 0 & 0 & -1 . Observando a transformação dada, podemos escrever a matriz de da seguinte forma:
Essa matriz representa como atua nos vetores de .

Passo 3

Agora, para verificar se det(A - lambda I) = 0 é diagonalizável, precisamos encontrar os autovalores da matriz. Os autovalores são encontrados resolvendo a equação característica:
Onde é a matriz identidade e representa os autovalores. Vamos calcular isso passo a passo.

Passo 4

Calculando A - lambda I = 3 - lambda & 0 & -4 0 & 3 - lambda & 5 0 & 0 & -1 - lambda :
det(A - lambda I) = (3 - lambda) cdot (3 - lambda) cdot (-1 - lambda)
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (3 - lambda)^2 (-1 - lambda) = 0
Simplificando:

Passo 5

Resolvendo a equação característica:
(3 - lambda)^2 (-1 - lambda) = 0
Isso nos dá os autovalores:
Então, os autovalores de lambda1 = 3 (com mu são 3 (com multiplicidade 2) e -1.

Passo 6

Para a matriz ser diagonalizável, é necessário que o número de autovetores seja igual à dimensão do espaço, ou seja, que cada autovalor tenha um número de autovetores igual à sua multiplicidade. Vamos verificar isso encontrando os autovetores para cada autovalor.

Passo 7

Primeiro, para (A - 3I) = 0 & 0 & -4 0 & 0 & 5 0 & 0 & -4 , resolvemos v1 = 1 0 0 :
Resolvendo o sistema, obtemos que os autovetores correspondentes são múltiplos de:
Então, para , temos apenas um autovetor independente.

Passo 8

Para (A + I) = 4 & 0 & -4 0 & 4 & 5 0 & 0 & 0 , resolvemos v2 = 1 -54 1 :
Resolvendo o sistema, encontramos que os autovetores correspondentes são múltiplos de:
Então, para , temos um autovetor.

Passo 9

Agora, vamos contar os autovetores independentes: temos um para e um para , totalizando dois autovetores. Entretanto, a dimensão do espaço é 3, então precisamos de três autovetores para que a matriz seja diagonalizável.

Passo 10

Como não conseguimos encontrar três autovetores independentes (faltando um para ), concluímos que a matriz não é diagonalizável.

Resposta

O operador linear não é diagonalizável.

Exercícios relacionados

Considere a equação de segundo grau nas variáveis x e y, com A neq 0 :
A x^2+A y^2+B x+C y+D=0
a) Mostre que a equação representa:
(i) um círculo se e só se B^2+C^2-4 A D>0;
(ii) um ponto se e só se B^2+C^2-4 A D=0;
(iii) o conjunto vazio se e só se B^2+C^2-4 A D<0.
b) Decida se cada uma das equações abaixo define um círculo, um ponto ou o conjunto vazio:
(i) 2 x^2+2 y^2-3 x+y-1=0
(iii) x^2+y^2-10 x+2 y+26=0
(ii) -x^2-y^2+6 x-4 y+3=0
(iv) 4 x^2+4 y^2-4 x-8 y+21=0
Determine se os conjuntos de vetores a seguir são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD). Encontre uma parametrização para os vetores do espaço gerado e, se possível, identifique o tipo de espaço que geram. v1=(2,-1,3), v2=(-1,3,-4), v3=(-1,5,-6) in R^3;
Determine se os conjuntos de vetores a seguir são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD). Encontre uma parametrização para os vetores do espaço gerado e, se possível, identifique o tipo de espaço que geram. v1=(2,-1,3,5), v2=(-1,3,-4,2), v3=(7,-1,5,-6) in R^3;
Determine se os conjuntos de vetores a seguir são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD). Encontre uma parametrização para os vetores do espaço gerado e, se possível, identifique o tipo de espaço que geram. v1=1+5 x+3 x^2, v2=6 x, v3=1+4 x^2 in P^2 ;