(Uem) Sabendo-se que x1 = 1 + 2i é raiz do polinômio p(x) = x^3 - 3x^2 + 7x - 5, assinale o que for correto.

Passo 1

Então, o enunciado diz que é uma raiz do polinômio . Vamos usar conceitos de álgebra sobre polinômios com coeficientes reais. Como temos uma raiz complexa, o conjugado dela, , também será raiz. Precisamos encontrar a terceira raiz e verificar algumas propriedades para identificar o que está correto.

Passo 2

Primeiro, sabemos que se e são raízes, então podemos escrever o polinômio como , onde é a terceira raiz. Vamos multiplicar as duas primeiras fatores:

Passo 3

Multiplicando os termos:
Então, o polinômio fica:

Passo 4

Agora, precisamos expandir e igualar aos coeficientes do polinômio dado:
Igualando aos coeficientes de :
Confirma que .

Passo 5

Agora que encontramos todas as raízes: , , e . Podemos confirmar que o polinômio foi corretamente fatorado e expandido.

Resposta

As raízes do polinômio são , e . Portanto, a afirmação correta é que as raízes complexas ocorrem em pares conjugados e a terceira raiz é real igual a 1.

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