(Uem) Sabendo-se que
é raiz do polinômio
, assinale o que for correto.
Passo 1
Então, o enunciado diz que
é uma raiz do polinômio
. Vamos usar conceitos de álgebra sobre polinômios com coeficientes reais. Como temos uma raiz complexa, o conjugado dela,
, também será raiz. Precisamos encontrar a terceira raiz e verificar algumas propriedades para identificar o que está correto.
Passo 2
Primeiro, sabemos que se
e
são raízes, então podemos escrever o polinômio como
, onde
é a terceira raiz. Vamos multiplicar as duas primeiras fatores:
Passo 3
Multiplicando os termos:
Então, o polinômio fica:
Passo 4
Agora, precisamos expandir
e igualar aos coeficientes do polinômio dado:
Igualando aos coeficientes de
:
Confirma que
.
Passo 5
Agora que encontramos todas as raízes:
,
, e
. Podemos confirmar que o polinômio foi corretamente fatorado e expandido.
Resposta
As raízes do polinômio
são
,
e
. Portanto, a afirmação correta é que as raízes complexas ocorrem em pares conjugados e a terceira raiz é real igual a 1.