Considere a equação
Obtenha intervalos onde se localizam as duas únicas raízes desta equação. Por que se pode afirmar que não há outras raízes?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação:
Aqui, estamos lidando com uma equação que envolve funções trigonométricas e polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de análise gráfica e algumas propriedades das funções trigonométricas e polinomiais. Nosso objetivo é encontrar os intervalos onde estão localizadas as duas raízes dessa equação e entender por que não existem outras soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para que fique igual a zero:
Vamos chamar essa expressão de
:
Nossos objetivos são encontrar os valores de
onde
e determinar os intervalos onde essas soluções estão localizadas.
Passo 3
Vamos analisar o comportamento de
em diferentes intervalos de
. Para isso, vamos calcular
para alguns valores específicos de
e observar onde a função muda de sinal, o que indica a presença de raízes (onde
).
Vamos começar testando alguns valores:
-
Para
: -
Para
:
Aqui, vimos que
passou de negativo para positivo entre
e
, indicando que há uma raiz nesse intervalo.
Passo 4
Vamos continuar testando outros valores para identificar o segundo intervalo onde a função muda de sinal:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Percebemos que de
em diante, a função continua aumentando e não apresenta mudança de sinal, então a segunda raiz deve estar entre
e
.
-
Para
: -
Para
: Já calculamos anteriormente que.
Parece que há um erro na nossa análise anterior. Vamos tentar novamente de forma mais cuidadosa.
Passo 5
Vamos reavaliar os valores considerando a simetria e o comportamento da função. Observamos que
tende a
conforme
tende a
e a
conforme
tende a
, mas precisamos identificar corretamente os intervalos das raízes.
Vamos testar mais valores:
-
Para
: -
Para
: (calculado anteriormente)
Assim, entre
e
, a função muda de positiva para negativa, indicando uma raiz nesse intervalo.
Passo 6
Resumindo os intervalos onde a função muda de sinal:
- Entre
e ( e ) - Entre
e ( e )
Esses são os dois intervalos onde as raízes estão localizadas.
Passo 7
Agora, precisamos justificar por que não existem outras raízes além dessas duas. Observamos que, para
e
, a função
não muda de sinal:
- Para
, permanece positiva e tende ao infinito. - Para
, também é positiva e tende ao infinito.
Além disso, entre os intervalos testados, não há mais mudanças de sinal, o que indica que não há mais raízes além das duas identificadas.
Resposta
As duas únicas raízes da equação estão localizadas nos intervalos
e
. Não existem outras raízes porque, fora desses intervalos, a função não apresenta mudanças de sinal, indicando que não há outros pontos onde a equação se iguala a zero.
Exercícios relacionados
Sejam
não nulos, tais que
e
. Então
?
A. F
B. V
A. F
B. V
Derivando a fórmula de adição
obtenha a fórmula de adição para a função cosseno.
Determine o domínio máximo, em
, da função
.
Identifique o conjunto A para o qual irá aplicar o princípio de induçăo e a propriedade
associada ao conjunto
;