Considere a equação
x^2 = x cos x - sen x + 1
Obtenha intervalos onde se localizam as duas únicas raízes desta equação. Por que se pode afirmar que não há outras raízes?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação:
Aqui, estamos lidando com uma equação que envolve funções trigonométricas e polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de análise gráfica e algumas propriedades das funções trigonométricas e polinomiais. Nosso objetivo é encontrar os intervalos onde estão localizadas as duas raízes dessa equação e entender por que não existem outras soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para que fique igual a zero:
Vamos chamar essa expressão de :
Nossos objetivos são encontrar os valores de onde e determinar os intervalos onde essas soluções estão localizadas.

Passo 3

Vamos analisar o comportamento de em diferentes intervalos de . Para isso, vamos calcular para alguns valores específicos de e observar onde a função muda de sinal, o que indica a presença de raízes (onde ).
Vamos começar testando alguns valores:
  • Para :
  • Para :
Aqui, vimos que passou de negativo para positivo entre e , indicando que há uma raiz nesse intervalo.

Passo 4

Vamos continuar testando outros valores para identificar o segundo intervalo onde a função muda de sinal:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Percebemos que de em diante, a função continua aumentando e não apresenta mudança de sinal, então a segunda raiz deve estar entre e .
  • Para :
  • Para :
    Já calculamos anteriormente que .
Parece que há um erro na nossa análise anterior. Vamos tentar novamente de forma mais cuidadosa.

Passo 5

Vamos reavaliar os valores considerando a simetria e o comportamento da função. Observamos que tende a conforme tende a e a conforme tende a , mas precisamos identificar corretamente os intervalos das raízes.
Vamos testar mais valores:
  • Para :
  • Para :
    (calculado anteriormente)
Assim, entre e , a função muda de positiva para negativa, indicando uma raiz nesse intervalo.

Passo 6

Resumindo os intervalos onde a função muda de sinal:
  • Entre e ( e )
  • Entre e ( e )
Esses são os dois intervalos onde as raízes estão localizadas.

Passo 7

Agora, precisamos justificar por que não existem outras raízes além dessas duas. Observamos que, para e , a função não muda de sinal:
  • Para , permanece positiva e tende ao infinito.
  • Para , também é positiva e tende ao infinito.
Além disso, entre os intervalos testados, não há mais mudanças de sinal, o que indica que não há mais raízes além das duas identificadas.

Resposta

As duas únicas raízes da equação estão localizadas nos intervalos e . Não existem outras raízes porque, fora desses intervalos, a função não apresenta mudanças de sinal, indicando que não há outros pontos onde a equação se iguala a zero.

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