Determine a solução geral das seguintes E.D.O lineares homogêneas
onde:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a solução geral de uma Equação Diferencial Ordinária (E.D.O.) linear homogênea da forma
, onde
é a matriz dada:
Para resolver isso, vamos precisar entender autovalores e autovetores da matriz
, que são fundamentais para encontrar a solução geral de sistemas lineares de E.D.O.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz
. Os autovalores
são encontrados resolvendo a equação característica:
Onde
é a matriz identidade. Vamos calcular isso:
Expandindo:
Então, temos:
Portanto, os autovalores são
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para
:
Resolvemos
:
[
]
Isso nos dá o sistema:
A segunda equação é apenas 3 vezes a primeira, então pegamos a primeira:
Escolhendo
, temos o autovetor
.
Para
:
Resolvemos
:
[
]
Isso nos dá o sistema:
Da segunda equação:
Escolhendo
, temos o autovetor
.
Passo 4
Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos escrever a solução geral do sistema de E.D.O.:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando
:
Resposta
A solução geral é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
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Considere a equação
onde
. Pedem-se: Para quais valores
o sistema tem auto-valores complexos? Autovalores repetidos. Auto-valores reais distintos.
Determine a solução geral das seguintes E.D.O lineares homogêneas
onde:
Determine a solução geral do sistema
Determine a solução geral das seguintes E.D.O lineares homogêneas
onde: