Determine a solução geral das seguintes E.D.O lineares homogêneas onde:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a solução geral de uma Equação Diferencial Ordinária (E.D.O.) linear homogênea da forma , onde é a matriz dada:
Para resolver isso, vamos precisar entender autovalores e autovetores da matriz , que são fundamentais para encontrar a solução geral de sistemas lineares de E.D.O.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz . Os autovalores são encontrados resolvendo a equação característica:
Onde é a matriz identidade. Vamos calcular isso:
Expandindo:
Então, temos:
Portanto, os autovalores são e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para :
Resolvemos :

[


]
Isso nos dá o sistema:
A segunda equação é apenas 3 vezes a primeira, então pegamos a primeira:
Escolhendo , temos o autovetor .
Para :
Resolvemos :

[


]
Isso nos dá o sistema:
Da segunda equação:
Escolhendo , temos o autovetor .

Passo 4

Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos escrever a solução geral do sistema de E.D.O.:
Onde e são constantes arbitrárias.
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando :

Resposta

A solução geral é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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