Determine a solução geral do sistema

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar a solução geral de um sistema de equações diferenciais lineares dado por:
Aqui, é um vetor que depende do tempo , e a matriz à direita é uma matriz nula (todos os elementos são zero). Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver sistemas lineares de equações diferenciais usando matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a equação significa. Aqui, representa a derivada de em relação ao tempo , e é uma matriz que “multiplica” o vetor .
No nosso caso, a matriz é:
Isso é uma matriz nula, ou seja, todos os seus elementos são zero. Então, a equação fica:

Passo 3

Agora, a equação nos diz que as derivadas das componentes de são iguais a zero. Vamos escrever isso de forma mais explícita:
Se , então:

Passo 4

Resolvendo essas equações diferenciais simples:
  1. Para :
Onde é uma constante real.
  1. Para :
Onde é outra constante real.

Passo 5

Então, juntando as soluções das duas componentes, a solução geral do sistema é:
Onde e são constantes que podem ser determinadas com condições iniciais, caso sejam fornecidas.

Resposta

A solução geral do sistema é:
Onde e são constantes reais.

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