Determine a solução geral do sistema
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar a solução geral de um sistema de equações diferenciais lineares dado por:
Aqui,
é um vetor que depende do tempo
, e a matriz à direita é uma matriz nula (todos os elementos são zero). Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver sistemas lineares de equações diferenciais usando matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a equação
significa. Aqui,
representa a derivada de
em relação ao tempo
, e
é uma matriz que “multiplica” o vetor
.
No nosso caso, a matriz
é:
Isso é uma matriz nula, ou seja, todos os seus elementos são zero. Então, a equação fica:
Passo 3
Agora, a equação
nos diz que as derivadas das componentes de
são iguais a zero. Vamos escrever isso de forma mais explícita:
Se
, então:
Passo 4
Resolvendo essas equações diferenciais simples:
- Para
:
Onde
é uma constante real.
- Para
:
Onde
é outra constante real.
Passo 5
Então, juntando as soluções das duas componentes, a solução geral do sistema é:
Onde
e
são constantes que podem ser determinadas com condições iniciais, caso sejam fornecidas.
Resposta
A solução geral do sistema é:
Onde
e
são constantes reais.
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onde:
Considere a equação
onde
. Pedem-se: Para quais valores
o sistema tem auto-valores complexos? Autovalores repetidos. Auto-valores reais distintos.
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onde:
Determine um exemplo de sistema de E.D.O
para o qual
é solução para qualquer constante
não-nula.