Considere a equação
. Mostre que multiplicar os dois lados da equação por
gera uma nova equação que é exata.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que é
. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre equações diferenciais exatas. Pra resolver isso, precisamos entender como transformar a equação original para que ela se torne exata. A chave aqui é multiplicar os dois lados da equação por
, ou seja, dividir tudo por
.
Passo 2
Primeiro, vamos multiplicar cada termo da equação por
:
Isso simplifica para:
Passo 3
Agora, para verificar se a nova equação é exata, precisamos identificar as funções
e
:
Uma equação é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
. Vamos calcular essas derivadas.
Passo 4
Calculando
:
Agora, calculando
:
Passo 5
Comparando as duas derivadas:
Como elas são iguais, a nova equação é realmente exata!
Resposta
Multiplicando a equação original por
, obtemos uma nova equação exata:
Exercícios relacionados
Responda com V (verdadeiro) ou F (falso). Não precisa justificar a resposta. A integral imprópria
é divergente.
Considere a equação
. Mostre que essa equação não é exata.
Para cada uma das funções, determine seu maior domínio de definição:
d)
d)
Responda com V (verdadeiro) ou F (falso). Não precisa justificar a resposta. Seja
, então
.