Considere a equação . Mostre que multiplicar os dois lados da equação por gera uma nova equação que é exata.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que é . O conteúdo que vamos usar aqui é sobre equações diferenciais exatas. Pra resolver isso, precisamos entender como transformar a equação original para que ela se torne exata. A chave aqui é multiplicar os dois lados da equação por , ou seja, dividir tudo por .

Passo 2

Primeiro, vamos multiplicar cada termo da equação por :
Isso simplifica para:

Passo 3

Agora, para verificar se a nova equação é exata, precisamos identificar as funções e :
Uma equação é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a . Vamos calcular essas derivadas.

Passo 4

Calculando :
Agora, calculando :

Passo 5

Comparando as duas derivadas:
Como elas são iguais, a nova equação é realmente exata!

Resposta

Multiplicando a equação original por , obtemos uma nova equação exata:

Exercícios relacionados

Responda com V (verdadeiro) ou F (falso). Não precisa justificar a resposta. A integral imprópria é divergente.
Considere a equação . Mostre que essa equação não é exata.
Para cada uma das funções, determine seu maior domínio de definição:
d)
Responda com V (verdadeiro) ou F (falso). Não precisa justificar a resposta. Seja , então .