Considere a equação
em que
é uma constante real.
(b) Usando
igual ao número de letras de seu primeiro nome, obtenha a solução geral
.
(b) Usando
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para achar a solução geral da equação
onde
é uma constante real. A gente vai usar o número de letras do meu primeiro nome, que é 7, para substituir o valor de
. Vamos precisar usar a teoria das equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes e resolver a equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
pelo número de letras do meu primeiro nome, que é 7. Assim, a equação fica:
Simplificando:
Passo 3
Agora, para resolver essa equação diferencial, a gente vai encontrar a equação característica. Para uma equação da forma
, a equação característica é:
No nosso caso,
,
e
. Então, a equação característica fica:
Passo 4
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:
Passo 5
Como a raiz da parte de baixo da raiz é negativa (
), isso significa que as soluções são complexas. Podemos escrever
como
. Então, as raízes ficam:
Passo 6
Quando as raízes são complexas da forma
, a solução geral da equação diferencial é:
No nosso caso,
e
. Substituindo na fórmula:
Resposta
A solução geral da equação é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
em que
é uma constante real.
(a) Para qual faixa de valores de tem-se
?
(a) Para qual faixa de valores de
(b) uma equação de Cauchy-Euler.