(1, 50) Considere a equação
2 y'' - lambda y' + (lambda + 2) y = 0
em que lambda é uma constante real.
(b) Usando lambda igual ao número de letras de seu primeiro nome, obtenha a solução geral y = y(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para achar a solução geral da equação
onde lambda é uma constante real. A gente vai usar o número de letras do meu primeiro nome, que é 7, para substituir o valor de lambda. Vamos precisar usar a teoria das equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes e resolver a equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir lambda pelo número de letras do meu primeiro nome, que é 7. Assim, a equação fica:
Simplificando:

Passo 3

Agora, para resolver essa equação diferencial, a gente vai encontrar a equação característica. Para uma equação da forma , a equação característica é:
No nosso caso, , e . Então, a equação característica fica:

Passo 4

Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de r. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:

Passo 5

Como a raiz da parte de baixo da raiz é negativa ( ), isso significa que as soluções são complexas. Podemos escrever como . Então, as raízes ficam:

Passo 6

Quando as raízes são complexas da forma , a solução geral da equação diferencial é:
No nosso caso, e . Substituindo na fórmula:

Resposta

A solução geral da equação é
onde e são constantes arbitrárias.

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