Considere a equação
y''(t) + 16 y(t) = 0
(a) Verifique que y1(t) = cos(4t) e y2(t) = sen(4 t) são soluções fundamentais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar que as funções e são soluções fundamentais da equação diferencial . Isso envolve entender conceitos de soluções de equações diferenciais e independência linear. Vamos precisar calcular as derivadas das funções e verificar se elas satisfazem a equação, além de confirmar que elas são independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se é uma solução da equação. Para isso, precisamos calcular a segunda derivada de e substituir na equação diferencial.

Passo 3

Calculando a primeira derivada de :

Passo 4

Agora, a segunda derivada de :

Passo 5

Substituindo e na equação diferencial:
Como a igualdade se confirma, é uma solução da equação.

Passo 6

Vamos agora verificar a função . Primeiro, calculamos a primeira derivada:

Passo 7

Em seguida, a segunda derivada de :

Passo 8

Substituindo e na equação diferencial:
Também confirmamos que satisfaz a equação.

Passo 9

Agora, precisamos verificar se e são soluções fundamentais, ou seja, se são soluções independentes linearmente. Para isso, calculamos o Wronskiano das duas funções.

Passo 10

O Wronskiano é dado por:

Passo 11

Calculando o determinante:

Passo 12

Simplificando usando a identidade trigonométrica :
Como o Wronskiano é diferente de zero, as funções são linearmente independentes.

Resposta

Portanto, e são soluções fundamentais da equação diferencial .

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