Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar que as funções e são soluções fundamentais da equação diferencial . Isso envolve entender conceitos de soluções de equações diferenciais e independência linear. Vamos precisar calcular as derivadas das funções e verificar se elas satisfazem a equação, além de confirmar que elas são independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se é uma solução da equação. Para isso, precisamos calcular a segunda derivada de e substituir na equação diferencial.
Passo 3
Calculando a primeira derivada de :
Passo 4
Agora, a segunda derivada de :
Passo 5
Substituindo e na equação diferencial:
Como a igualdade se confirma, é uma solução da equação.
Passo 6
Vamos agora verificar a função . Primeiro, calculamos a primeira derivada:
Passo 7
Em seguida, a segunda derivada de :
Passo 8
Substituindo e na equação diferencial:
Também confirmamos que satisfaz a equação.
Passo 9
Agora, precisamos verificar se e são soluções fundamentais, ou seja, se são soluções independentes linearmente. Para isso, calculamos o Wronskiano das duas funções.
Passo 10
O Wronskiano é dado por:
Passo 11
Calculando o determinante:
Passo 12
Simplificando usando a identidade trigonométrica :
Como o Wronskiano é diferente de zero, as funções são linearmente independentes.
Resposta
Portanto, e são soluções fundamentais da equação diferencial .