Resolva a equação diferencial pelo método do fator integrante.
(b) y'(t) + y(t) = cos(e^t)

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial usando o método do fator integrante. Aqui, trabalharemos com equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para aplicar esse método, precisamos encontrar um fator que simplifique a equação e facilite a integração.

Passo 2

Primeiro, identificamos os coeficientes da equação diferencial. A equação está na forma padrão:
onde e .

Passo 3

Agora, encontramos o fator integrante . O fator integrante é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :

Passo 5

A equação agora pode ser escrita como a derivada do produto :

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a :
Isso simplifica para:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Para resolver a integral , fazemos uma substituição. Seja , então . A integral se transforma em:
Voltando para :

Passo 8

Substituímos a integral resolvida de volta na equação:

Passo 9

Finalmente, isolamos dividindo ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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