Resolva a equação diferencial pelo método do fator integrante.
(b)
(b)
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
usando o método do fator integrante. Aqui, trabalharemos com equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para aplicar esse método, precisamos encontrar um fator que simplifique a equação e facilite a integração.
Passo 2
Primeiro, identificamos os coeficientes da equação diferencial. A equação está na forma padrão:
onde
e
.
Passo 3
Agora, encontramos o fator integrante
. O fator integrante é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Passo 5
A equação agora pode ser escrita como a derivada do produto
:
Passo 6
Integramos ambos os lados em relação a
:
Isso simplifica para:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Para resolver a integral
, fazemos uma substituição. Seja
, então
. A integral se transforma em:
Voltando para
:
Passo 8
Substituímos a integral resolvida de volta na equação:
Passo 9
Finalmente, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.