Determine os intervalos em que as funções seguintes são estritamente crescente ou decrescente: y = 2 x - sen x

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo: precisamos descobrir em quais intervalos a função está crescendo ou diminuindo. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas do cálculo, que nos ajuda a analisar o comportamento das funções.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função em relação a . A derivada nos mostra a taxa de variação da função, ou seja, se ela está aumentando ou diminuindo.

Passo 3

Agora, precisamos determinar onde essa derivada é positiva ou negativa. Se , a função está crescendo; se , está diminuindo.
Então, temos duas situações:
  1. Crescendo:
  2. Diminuindo:

Passo 4

Vamos analisar a primeira situação: .
Sabemos que o cosseno de qualquer ângulo está entre -1 e 1:
Substituindo na desigualdade:
Como sempre é menor que 2 (já que o máximo é 1), essa desigualdade é sempre verdadeira para qualquer valor de .

Passo 5

Agora, vamos verificar a segunda situação: .
Usando novamente que :
Mas isso nunca acontece, porque o cosseno nunca é maior que 1. Portanto, não há nenhum intervalo onde a derivada seja negativa.

Resposta

A função é estritamente crescente em todo o seu domínio, ou seja, para todo real.

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