Determine os intervalos em que as funções seguintes são estritamente crescente ou decrescente:
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo: precisamos descobrir em quais intervalos a função
está crescendo ou diminuindo. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas do cálculo, que nos ajuda a analisar o comportamento das funções.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função em relação a
. A derivada nos mostra a taxa de variação da função, ou seja, se ela está aumentando ou diminuindo.
Passo 3
Agora, precisamos determinar onde essa derivada é positiva ou negativa. Se
, a função está crescendo; se
, está diminuindo.
Então, temos duas situações:
- Crescendo:
- Diminuindo:
Passo 4
Vamos analisar a primeira situação:
.
Sabemos que o cosseno de qualquer ângulo
está entre -1 e 1:
Substituindo na desigualdade:
Como
sempre é menor que 2 (já que o máximo é 1), essa desigualdade é sempre verdadeira para qualquer valor de
.
Passo 5
Agora, vamos verificar a segunda situação:
.
Usando novamente que
:
Mas isso nunca acontece, porque o cosseno nunca é maior que 1. Portanto, não há nenhum intervalo onde a derivada seja negativa.
Resposta
A função
é estritamente crescente em todo o seu domínio, ou seja, para todo
real.