Considere a equação
y''(t) + 2y'(t) + y(t) = 0
(a) Verifique que y1(t) = e^(-t) e y2(t) = t * e^(-t) são soluções fundamentais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
O objetivo aqui é verificar se as funções e são soluções fundamentais dessa equação. Para isso, vamos precisar derivar essas funções e substituí-las na equação para ver se a igualdade se mantém.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para verificar se uma função é solução da equação diferencial, a gente precisa calcular suas derivadas primeira e segunda. Vamos começar com .

Passo 3

Calculando a primeira derivada de :

Passo 4

Agora, a segunda derivada de :

Passo 5

Substituindo , e na equação diferencial:
Como a igualdade se mantém, é realmente uma solução da equação.

Passo 6

Agora, vamos verificar para . Primeiro, calculamos a primeira derivada:

Passo 7

Em seguida, a segunda derivada:

Passo 8

Substituindo , e na equação diferencial:
De novo, a igualdade se mantém, mostrando que também é uma solução da equação.

Resposta

As funções e são realmente soluções fundamentais da equação diferencial .

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