Considere a equação
(a) Verifique que
e
são soluções fundamentais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
O objetivo aqui é verificar se as funções
e
são soluções fundamentais dessa equação. Para isso, vamos precisar derivar essas funções e substituí-las na equação para ver se a igualdade se mantém.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para verificar se uma função é solução da equação diferencial, a gente precisa calcular suas derivadas primeira e segunda. Vamos começar com
.
Passo 3
Calculando a primeira derivada de
:
Passo 4
Agora, a segunda derivada de
:
Passo 5
Substituindo
,
e
na equação diferencial:
Como a igualdade se mantém,
é realmente uma solução da equação.
Passo 6
Agora, vamos verificar para
. Primeiro, calculamos a primeira derivada:
Passo 7
Em seguida, a segunda derivada:
Passo 8
Substituindo
,
e
na equação diferencial:
De novo, a igualdade se mantém, mostrando que
também é uma solução da equação.
Resposta
As funções
e
são realmente soluções fundamentais da equação diferencial
.