Encontre a solução geral pelo método da variação dos parâmetros (MVP):
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que foi pedido. Temos a equação diferencial:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver isso usando o método da variação dos parâmetros (MVP), vamos precisar primeiro encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
A solução geral dessa equação homogênea é:
onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa:
Usando o método da variação dos parâmetros, assumimos que as constantes
e
são funções de
, ou seja,
e
.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
A primeira derivada é:
Para simplificar, impomos a condição:
Isso nos ajuda a encontrar
e
.
Passo 5
Substituindo
e
na equação diferencial original e aplicando a condição que impusemos, chegamos a:
Resolvendo esse sistema, encontramos:
onde
é o Wronskiano das soluções homogêneas, que aqui resulta em:
Então, simplificando:
Passo 6
Integrando
e
para encontrar
e
:
Usando a identidade
, temos:
E para
:
Passo 7
Agora, substituímos
e
na expressão de
:
Simplificando:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: