Encontre a solução geral pelo método da variação dos parâmetros (MVP):
(a) y''(t) + y(t) = tan(t)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que foi pedido. Temos a equação diferencial:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver isso usando o método da variação dos parâmetros (MVP), vamos precisar primeiro encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
A solução geral dessa equação homogênea é:
onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa:
Usando o método da variação dos parâmetros, assumimos que as constantes e são funções de , ou seja, e .

Passo 4

Calculamos as derivadas de :
A primeira derivada é:
Para simplificar, impomos a condição:
Isso nos ajuda a encontrar e .

Passo 5

Substituindo e na equação diferencial original e aplicando a condição que impusemos, chegamos a:
Resolvendo esse sistema, encontramos:
onde é o Wronskiano das soluções homogêneas, que aqui resulta em:
Então, simplificando:

Passo 6

Integrando e para encontrar e :
Usando a identidade , temos:
E para :

Passo 7

Agora, substituímos e na expressão de :
Simplificando:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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