Encontre todos os valores de k para os quais a equação diferencial y''(t) + k y'(t) + k y(t) = 0 tenha uma solução geral da forma dada:
© y(t) = c1 * e^(a * t) * cos(b * t) + c2 * e^(a * t) * sen(b * t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrar todos os valores de que fazem com que a equação diferencial tenha uma solução geral da forma .
Isso está relacionado ao estudo de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar as soluções dessas equações usando a equação característica e analisar quando as raízes são complexas, o que nos leva à forma da solução dada no enunciado.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial dada:
Para resolver essa equação, usamos a equação característica, que é uma ferramenta que transforma a equação diferencial em uma equação algébrica. A equação característica associada é:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica para encontrar as raízes :
O discriminante da equação, que está dentro da raiz quadrada, é .

Passo 4

Para que a solução geral tenha termos envolvendo senos e cossenos multiplicados por uma exponencial, as raízes da equação característica precisam ser complexas conjugadas. Isso acontece quando o discriminante é negativo:

Passo 5

Vamos resolver a desigualdade :
Para que o produto seja negativo, deve estar entre 0 e 4. Ou seja:

Resposta

Os valores de que satisfazem a condição são todos os reais que estão entre 0 e 4, ou seja:

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