Encontre todos os valores de
para os quais a equação diferencial
tenha uma solução geral da forma dada:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrar todos os valores de
que fazem com que a equação diferencial
tenha uma solução geral da forma .
Isso está relacionado ao estudo de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar as soluções dessas equações usando a equação característica e analisar quando as raízes são complexas, o que nos leva à forma da solução dada no enunciado.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial dada:
Para resolver essa equação, usamos a equação característica, que é uma ferramenta que transforma a equação diferencial em uma equação algébrica. A equação característica associada é:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica para encontrar as raízes
:
O discriminante da equação, que está dentro da raiz quadrada, é
.
Passo 4
Para que a solução geral tenha termos envolvendo senos e cossenos multiplicados por uma exponencial, as raízes da equação característica precisam ser complexas conjugadas. Isso acontece quando o discriminante
é negativo:
Passo 5
Vamos resolver a desigualdade
:
Para que o produto
seja negativo,
deve estar entre 0 e 4. Ou seja:
Resposta
Os valores de
que satisfazem a condição são todos os reais que estão entre 0 e 4, ou seja: