Resolva os problemas de valores iniciais (PVIs):
(d)
(d)
Passo 1
Vamos resolver o problema de valor inicial dado por
com as condições iniciais
e
. Esse tipo de problema está relacionado à resolução de equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar os valores característicos, determinar a solução geral da equação e, por fim, aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial dada. A equação característica de uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem como
é
. No nosso caso, a equação é
, então:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica
. Usando a fórmula de Bhaskara:
Os valores de
são complexos:
e
.
Passo 4
Quando a equação característica tem raízes complexas da forma
, a solução geral da equação diferencial é:
No nosso caso,
e
, então a solução geral é:
Passo 5
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes
e
.
Primeiro, usamos
:
Então,
.
Passo 6
Em seguida, calculamos a derivada de
para usar a segunda condição inicial
:
Usando a regra do produto:
Simplificando:
Agora, aplicamos
:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: