Resolva os problemas de valores iniciais (PVIs):
(d) y'' - 6y'(t) + 13y(t) = 0, y(0) = -2, y'(0) = 0

Passo 1

Vamos resolver o problema de valor inicial dado por com as condições iniciais e . Esse tipo de problema está relacionado à resolução de equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar os valores característicos, determinar a solução geral da equação e, por fim, aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial dada. A equação característica de uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem como é . No nosso caso, a equação é , então:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica . Usando a fórmula de Bhaskara:
Os valores de são complexos: e .

Passo 4

Quando a equação característica tem raízes complexas da forma , a solução geral da equação diferencial é:
No nosso caso, e , então a solução geral é:

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes e .
Primeiro, usamos :
Então, .

Passo 6

Em seguida, calculamos a derivada de para usar a segunda condição inicial :
Usando a regra do produto:
Simplificando:
Agora, aplicamos :
Resolvendo para :

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

Exercícios relacionados