Considere a equação , onde são números reais positivos e é um número real arbitrário. Mostre que toda solução dessa equação tende a quando tende a .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial , onde e são números reais positivos e é qualquer número real. Nosso objetivo é mostrar que, conforme vai pra , toda solução dessa equação se aproxima de . Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais lineares de segunda ordem e entender o comportamento das soluções no infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Isso nos ajuda a entender a parte da solução que depende das raízes da equação característica.

Passo 3

A equação característica da equação homogênea é . Vamos resolver essa equação para encontrar as raízes .

Passo 4

Usando a fórmula de Bhaskara, as raízes são:
Como e são positivos, o discriminante pode ser positivo, zero ou negativo. Mas, independente disso, com e , as soluções da parte homogênea vão envolver termos exponenciais decrescentes ou oscilatórios que tendem a zero conforme vai pra .

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa . Como o lado direito é uma constante, tentamos uma solução particular também constante. Vamos supor que , onde é uma constante.

Passo 6

Substituindo na equação:
Então, a solução particular é .

Passo 7

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular :
Como vimos que tende a zero quando vai para , a solução geral tende a .

Resposta

Portanto, toda solução da equação tende a quando tende a .

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Resp.: , mas existem várias
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