Considere a equação
, onde
são números reais positivos e
é um número real arbitrário. Mostre que toda solução dessa equação tende a
quando
tende a
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial
, onde
e
são números reais positivos e
é qualquer número real. Nosso objetivo é mostrar que, conforme
vai pra
, toda solução dessa equação se aproxima de
. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais lineares de segunda ordem e entender o comportamento das soluções no infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Isso nos ajuda a entender a parte da solução que depende das raízes da equação característica.
Passo 3
A equação característica da equação homogênea é
. Vamos resolver essa equação para encontrar as raízes
.
Passo 4
Usando a fórmula de Bhaskara, as raízes são:
Como
e
são positivos, o discriminante
pode ser positivo, zero ou negativo. Mas, independente disso, com
e
, as soluções da parte homogênea vão envolver termos exponenciais decrescentes ou oscilatórios que tendem a zero conforme
vai pra
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa
. Como o lado direito é uma constante, tentamos uma solução particular também constante. Vamos supor que
, onde
é uma constante.
Passo 6
Substituindo
na equação:
Então, a solução particular é
.
Passo 7
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea
e da solução particular
:
Como vimos que
tende a zero quando
vai para
, a solução geral
tende a
.
Resposta
Portanto, toda solução da equação
tende a
quando
tende a
.
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Determine uma equação paramétrica para cada uma das superfícies dadas.
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e raio
,
Resp.: , mas existem várias
Esfera
Resp.:
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onde
é um número real dado;
Determine uma equação paramétrica para cada uma das superfícies dadas.
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e
, Resp.:
A parte do cilindro