Determine uma equação paramétrica para cada uma das superfícies dadas.
Esfera S^2 de centro (k, l, m) e raio r,
Resp.: r(u, v) = (r sen(u) cos(v), r sen(u) sen(v), cos(u)), (u, v) em [0, 2 pi] x [0, pi], mas existem várias

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar uma equação paramétrica para uma esfera que tem seu centro no ponto e raio . Para resolver isso, vamos usar as coordenadas esféricas, que são super úteis para descrever superfícies como a esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como fica a equação paramétrica de uma esfera centrada na origem . Utilizamos dois parâmetros, geralmente chamados de e , que correspondem a ângulos que vão de 0 a e de 0 a , respectivamente. A equação fica assim:
Aqui, é o raio da esfera, e cada componente da função representa uma coordenada no espaço.

Passo 3

Agora, como a nossa esfera está deslocada para o ponto , precisamos ajustar a equação paramétrica para refletir esse deslocamento. Para isso, simplesmente somamos as coordenadas do centro a cada componente da equação original. Fica assim:
Isso garante que a esfera esteja realmente centrada em em vez de na origem.

Resposta

A equação paramétrica para a esfera com centro em e raio é:
Essa parametrização descreve todos os pontos que pertencem à esfera desejada.

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