Determine uma equação paramétrica para cada uma das superfícies dadas.
Esfera de centro e raio ,
Resp.: , mas existem várias

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar uma equação paramétrica para uma esfera que tem seu centro no ponto e raio . Para resolver isso, vamos usar as coordenadas esféricas, que são super úteis para descrever superfícies como a esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como fica a equação paramétrica de uma esfera centrada na origem . Utilizamos dois parâmetros, geralmente chamados de e , que correspondem a ângulos que vão de 0 a e de 0 a , respectivamente. A equação fica assim:
Aqui, é o raio da esfera, e cada componente da função representa uma coordenada no espaço.

Passo 3

Agora, como a nossa esfera está deslocada para o ponto , precisamos ajustar a equação paramétrica para refletir esse deslocamento. Para isso, simplesmente somamos as coordenadas do centro a cada componente da equação original. Fica assim:
Isso garante que a esfera esteja realmente centrada em em vez de na origem.

Resposta

A equação paramétrica para a esfera com centro em e raio é:
Essa parametrização descreve todos os pontos que pertencem à esfera desejada.

Exercícios relacionados

Escreva a forma apropriada de uma solução particular da equação dada:
onde é um número real dado;
Resolva o problema de valor inicial.
Considere a equação , onde são números reais positivos e é um número real arbitrário. Mostre que toda solução dessa equação tende a quando tende a .
Determine uma equação paramétrica para cada uma das superfícies dadas.
A parte do cilindro que está entre os planos e , Resp.: