Considere a equação y' + p(t) y = 0.
a) Verifique que, se y1(t) e y2(t) são soluções da EDO acima, então y(t) = y1(t) + y2(t) também o é.
b) Verifique que, se y1(t) é solução da EDO acima, então, para qualquer constante c, y(t) = c * y1(t) também é solução.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial ordinária (EDO) . O que a gente precisa fazer aqui é verificar duas coisas:
a) Se e são soluções dessa equação, então a soma também é uma solução.
b) Se é uma solução, então qualquer constante multiplicando ela, ou seja, , também é uma solução.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de linhagem de soluções e superposição. Mas calma que eu explico esses conceitos conforme a gente for andando.

Passo 2

Primeiro, vamos para a parte (a). Queremos ver se a soma de duas soluções é também uma solução. Isso está ligado ao que a gente chama de superposição. Em equações diferenciais lineares homogêneas, como essa, a superposição de soluções é uma propriedade válida. Mas vamos verificar isso passo a passo.

Passo 3

Vamos supor que e são soluções da EDO. Isso significa que elas satisfazem a equação:

Passo 4

Agora, vamos considerar . Para verificar se também é solução, precisamos substituir na EDO e ver se a igualdade se mantém.
Primeiro, calculamos a derivada de :

Passo 5

Substituindo e na equação diferencial:

Passo 6

Distribuindo :

Passo 7

Agora, sabemos que e são soluções, então:

Passo 8

Substituindo essas igualdades na expressão anterior:
Ou seja,
Então, satisfaz a EDO.

Passo 9

Agora, vamos para a parte (b). Queremos verificar que se é solução, então , onde é uma constante, também é solução.

Passo 10

Primeiro, calculemos a derivada de :

Passo 11

Substituindo e na EDO:

Passo 12

Fatorando a constante :

Passo 13

Como é solução, sabemos que:

Passo 14

Substituindo na expressão:
Então,
Portanto, também é solução da EDO.

Resposta

a) Sim, é uma solução da equação diferencial .
b) Sim, para qualquer constante , também é uma solução da equação diferencial .

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Resolver as equações diferenciais que seguem, por separação de variáveis:
(1+x^2) dy - x y dx = 0
Resolver as equações diferenciais que seguem, por separação de variáveis:
sec^2(x) * tg(y) dx + sec^2(y) * tg(x) dy = 0
Encontre a solução dos PVIa) y' + 1/4 y = 3 + 2 cos(2 t), y(0) = 0.
b) y' - y = 1 + 3 sen(t), y(0) = -5/2
Considere a seguinte EDO:
2y^2 + 2y/x + (2xy + 2 + y/x)y' = 0
a) Verifique que a EDO acima não é exata e que ao multiplicá-la por x, obtemos uma nova EDO, que é exata.
b) Encontre a solução geral da EDO exata obtida no item anterior.
c) Encontre a solução do item anterior que satisfaz y(1)=1.