Considere a equação
.
a) Verifique que, se
e
são soluções da EDO acima, então
também o é.
b) Verifique que, se
é solução da EDO acima, então, para qualquer constante
também é solução.
a) Verifique que, se
b) Verifique que, se
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial ordinária (EDO)
. O que a gente precisa fazer aqui é verificar duas coisas:
a) Se
e
são soluções dessa equação, então a soma
também é uma solução.
b) Se
é uma solução, então qualquer constante multiplicando ela, ou seja,
, também é uma solução.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de linhagem de soluções e superposição. Mas calma que eu explico esses conceitos conforme a gente for andando.
Passo 2
Primeiro, vamos para a parte (a). Queremos ver se a soma de duas soluções é também uma solução. Isso está ligado ao que a gente chama de superposição. Em equações diferenciais lineares homogêneas, como essa, a superposição de soluções é uma propriedade válida. Mas vamos verificar isso passo a passo.
Passo 3
Vamos supor que
e
são soluções da EDO. Isso significa que elas satisfazem a equação:
Passo 4
Agora, vamos considerar
. Para verificar se
também é solução, precisamos substituir na EDO e ver se a igualdade se mantém.
Primeiro, calculamos a derivada de
:
Passo 5
Substituindo
e
na equação diferencial:
Passo 6
Distribuindo
:
Passo 7
Agora, sabemos que
e
são soluções, então:
Passo 8
Substituindo essas igualdades na expressão anterior:
Ou seja,
Então,
satisfaz a EDO.
Passo 9
Agora, vamos para a parte (b). Queremos verificar que se
é solução, então
, onde
é uma constante, também é solução.
Passo 10
Primeiro, calculemos a derivada de
:
Passo 11
Substituindo
e
na EDO:
Passo 12
Fatorando a constante
:
Passo 13
Como
é solução, sabemos que:
Passo 14
Substituindo na expressão:
Então,
Portanto,
também é solução da EDO.
Resposta
a) Sim,
é uma solução da equação diferencial
.
b) Sim, para qualquer constante
,
também é uma solução da equação diferencial
.
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Resolver as equações diferenciais que seguem, por separação de variáveis:
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Encontre a solução dos PVIa)
.
b)
b)
Considere a seguinte EDO:
a) Verifique que a EDO acima não é exata e que ao multiplicá-la por
, obtemos uma nova EDO, que é exata.
b) Encontre a solução geral da EDO exata obtida no item anterior.
c) Encontre a solução do item anterior que satisfaz .
b) Encontre a solução geral da EDO exata obtida no item anterior.
c) Encontre a solução do item anterior que satisfaz