Considere a seguinte EDO:
a) Verifique que a EDO acima não é exata e que ao multiplicá-la por
, obtemos uma nova EDO, que é exata.
b) Encontre a solução geral da EDO exata obtida no item anterior.
c) Encontre a solução do item anterior que satisfaz
.
b) Encontre a solução geral da EDO exata obtida no item anterior.
c) Encontre a solução do item anterior que satisfaz
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) da seguinte forma:
O exercício está dividido em três partes:
a) Mostrar que essa EDO não é exata e que, ao multiplicar por
, ela vira uma EDO exata.
b) Encontrar a solução geral da EDO exata obtida no item anterior.
c) Encontrar a solução que satisfaz a condição inicial
.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma EDO exata e como manipular as equações para verificar essa exatidão. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a EDO de forma mais clara:
A forma geral de uma EDO é
. Aqui:
Uma EDO é exata se existir uma função
tal que:
Para verificar se a EDO é exata, a gente checa se:
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Passo 3
Calculando
:
Então,
Agora, calculando
:
Então,
Comparando
e
:
Como essas derivadas não são iguais, a EDO não é exata. Agora, vamos multiplicar a EDO original por
e ver se ela se torna exata.
Passo 4
Multiplicando a EDO original por
:
Simplificando:
Agora, identificamos novamente
e
:
Vamos verificar se essa nova EDO é exata.
Passo 5
Calculando
:
Então,
Calculando
:
Então,
Agora, comparando as derivadas:
Como as derivadas são iguais, a EDO multiplicada por
é exata. Isso conclui o item a).
Passo 6
Passando para o item b), vamos resolver a EDO exata:
Como a EDO é exata, sabemos que existe uma função
tal que:
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Passo 7
Integrando termo a termo:
- Integra de
em relação a :
- Integra de
em relação a :
Como
é tratado como constante em relação a
:
Então, juntando os resultados:
Aqui,
é uma função de
que aparece porque a constante de integração pode depender de
.
Passo 8
Agora, sabemos que:
Vamos derivar
em relação a
:
Igualando a
:
Simplificando, percebemos que:
Integrando
:
Agora, substituímos
na função
:
Para a solução geral, igualamos
:
Onde
é uma constante.
Resposta
A solução geral da EDO exata é dada por:
Onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Encontre a solução dos PVIa)
.
b)
b)
Considere a equação
.
a) Verifique que, se e
são soluções da EDO acima, então
também o é.
b) Verifique que, se é solução da EDO acima, então, para qualquer constante
também é solução.
a) Verifique que, se
b) Verifique que, se
Resolver as equações diferenciais que seguem, por separação de variáveis:
Resolver as equações diferenciais que seguem, por separação de variáveis: