considere
C) Explique por que f é diferenciável

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na questão! A gente tem uma função de duas variáveis, , e a tarefa é explicar por que essa função é diferenciável. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre diferenciabilidade de funções de várias variáveis. Vamos precisar verificar se as derivadas parciais existem e são contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser diferenciável. Em termos simples, uma função é diferenciável em um ponto se ela pode ser aproximada por um plano tangente nesse ponto. Para isso, as derivadas parciais em relação a e precisam existir e serem contínuas próximas desse ponto.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
Para :
Então:
Para :
Então:

Passo 4

Agora que temos as derivadas parciais, precisamos verificar se elas são contínuas nos pontos onde a função está definida. Observamos que:
  • é contínua para .
  • é uma função exponencial que é sempre contínua.
  • As outras partes das derivadas são combinações de funções contínuas (como polinômios e razão de polinômios).
Portanto, as derivadas parciais e são contínuas onde .

Passo 5

Como as derivadas parciais de existem e são contínuas no domínio considerado (onde ), podemos concluir, pelo teorema da diferenciabilidade para funções de várias variáveis, que a função é diferenciável nesse domínio.

Resposta

A função é diferenciável porque suas derivadas parciais em relação a e existem e são contínuas onde , garantindo que possa ser aproximada por um plano tangente nesse domínio.

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considere
A) encontre a derivada direcional de f em na direção do vetor
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