considere
C) Explique por que f é diferenciável
C) Explique por que f é diferenciável
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada na questão! A gente tem uma função de duas variáveis,
, e a tarefa é explicar por que essa função é diferenciável. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre diferenciabilidade de funções de várias variáveis. Vamos precisar verificar se as derivadas parciais existem e são contínuas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser diferenciável. Em termos simples, uma função é diferenciável em um ponto se ela pode ser aproximada por um plano tangente nesse ponto. Para isso, as derivadas parciais em relação a
e
precisam existir e serem contínuas próximas desse ponto.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Para
:
Então:
Para
:
Então:
Passo 4
Agora que temos as derivadas parciais, precisamos verificar se elas são contínuas nos pontos onde a função está definida. Observamos que:
-
é contínua para . -
é uma função exponencial que é sempre contínua. - As outras partes das derivadas são combinações de funções contínuas (como polinômios e razão de polinômios).
Portanto, as derivadas parciais
e
são contínuas onde
.
Passo 5
Como as derivadas parciais de
existem e são contínuas no domínio considerado (onde
), podemos concluir, pelo teorema da diferenciabilidade para funções de várias variáveis, que a função
é diferenciável nesse domínio.
Resposta
A função
é diferenciável porque suas derivadas parciais em relação a
e
existem e são contínuas onde
, garantindo que
possa ser aproximada por um plano tangente nesse domínio.