Considere a equação
Considere
e
. Determine
tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação de recorrência que define uma sequência:
com os primeiros termos
e
. Nosso objetivo é encontrar o valor de
que faz com que, quando
vai para o infinito,
tende a 0. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações de recorrência lineares e limites de sequências.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação de recorrência. Para isso, usamos o método das equações características. A gente assume que a solução tem a forma
, onde
é uma constante que precisa ser determinada. Substituindo na equação:
Dividindo tudo por
(desde que
):
Essa é a nossa equação característica.
Passo 3
Vamos resolver a equação característica:
Multiplicando todos os termos por 2 para eliminar o denominador:
Agora, usando a fórmula de Bhaskara:
Assim, as raízes são:
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação de recorrência é uma combinação linear das soluções associadas a cada raiz:
Onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Vamos usar as condições iniciais para encontrar
e
.
Para
:
Para
:
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas.
Passo 6
Vamos resolver o sistema:
De Equação 1:
Substituindo na Equação 2:
Agora, queremos que
. Observando a solução geral:
Para que
tenda a 0 quando
vai para o infinito, o termo que envolve
precisa desaparecer, ou seja,
.
Então:
Resposta
O valor de
que satisfaz
é
.
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