Considere a equação yn+2=32 yn+1+yn Considere y0=1 e y1=alpha. Determine alpha tal que lim n +infty yn=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação de recorrência que define uma sequência: yn+2=32 yn+1+yn com os primeiros termos y0=1 e y1=alpha. Nosso objetivo é encontrar o valor de alpha que faz com que, quando vai para o infinito, tende a 0. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações de recorrência lineares e limites de sequências.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação de recorrência. Para isso, usamos o método das equações características. A gente assume que a solução tem a forma r^n+2 = 32 r^n+1 + r^n , onde r^2 = 32 r + 1 é uma constante que precisa ser determinada. Substituindo na equação:
Dividindo tudo por (desde que ):
Essa é a nossa equação característica.

Passo 3

Vamos resolver a equação característica:
r^2 - 32 r - 1 = 0
Multiplicando todos os termos por 2 para eliminar o denominador:
2r^2 - 3r - 2 = 0
Agora, usando a fórmula de Bhaskara:
r = 3 pm raiz9 + 164 = 3 pm raiz254 = 3 pm 54
Assim, as raízes são:
r1 = 3 + 54 = 2 e r2 = 3 - 54 = -12

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação de recorrência é uma combinação linear das soluções associadas a cada raiz:
yn = A cdot (2)^n + B cdot (-12)^n
Onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos usar as condições iniciais para encontrar y0 = 1 = A cdot (2)^0 + B cdot (-12)^0 1 = A + B (Equação 1) e y1 = alpha = A cdot (2)^1 + B cdot (-12)^1 alpha = 2A - 12B (Equação 2) .
Para :
çã
Para :
çã
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas.

Passo 6

Vamos resolver o sistema:
De Equação 1:
B = 1 - A
Substituindo na Equação 2:
alpha = 2A - 12(1 - A) alpha = 2A - 12 + 12A alpha + 12 = 52A A = 25 ( alpha + 12 )
Agora, queremos que yn = A cdot 2^n + B cdot (-12)^n . Observando a solução geral:
0 = 25 ( alpha + 12 ) alpha + 12 = 0 alpha = -12
Para que tenda a 0 quando vai para o infinito, o termo que envolve precisa desaparecer, ou seja, .
Então:

Resposta

O valor de que satisfaz é .

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