Considere a equação Considere e . Determine tal que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação de recorrência que define uma sequência: com os primeiros termos e . Nosso objetivo é encontrar o valor de que faz com que, quando vai para o infinito, tende a 0. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações de recorrência lineares e limites de sequências.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação de recorrência. Para isso, usamos o método das equações características. A gente assume que a solução tem a forma , onde é uma constante que precisa ser determinada. Substituindo na equação:
Dividindo tudo por (desde que ):
Essa é a nossa equação característica.

Passo 3

Vamos resolver a equação característica:
Multiplicando todos os termos por 2 para eliminar o denominador:
Agora, usando a fórmula de Bhaskara:
Assim, as raízes são:

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação de recorrência é uma combinação linear das soluções associadas a cada raiz:
Onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos usar as condições iniciais para encontrar e .
Para :
çã
Para :
çã
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas.

Passo 6

Vamos resolver o sistema:
De Equação 1:
Substituindo na Equação 2:
Agora, queremos que . Observando a solução geral:
Para que tenda a 0 quando vai para o infinito, o termo que envolve precisa desaparecer, ou seja, .
Então:

Resposta

O valor de que satisfaz é .

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