Determine a solução das equações de diferença lineares homogênea de ordem 2 satisfazendo as condições iniciais dadas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de diferença do segundo grau: com as condições iniciais e . O conteúdo que vamos usar aqui é de equações de diferença lineares homogêneas, que são tipo as versões discretas das equações diferenciais. Precisamos achar uma fórmula que dê o valor de para qualquer .

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica dessa equação de diferença. Isso é parecido com resolver equações polinomiais para encontrar raízes que nos ajudam a montar a solução geral. A equação característica fica assim:
Isso porque substituímos por e por .

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação . Subtraindo 4 de ambos os lados, temos:
Então, tirando a raiz quadrada:
As soluções são números complexos, que envolvem a unidade imaginária .

Passo 4

Com as raízes , sabemos que a solução geral para a equação é uma combinação linear de funções trigonométricas. A fórmula geral fica:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos aplicar a primeira condição inicial . Substituindo na equação geral:
Sabemos que e , então:
Portanto, .

Passo 6

Agora, aplicamos a segunda condição inicial . Substituindo na equação geral com :
Então, isolando :

Resposta

A solução da equação de diferença é:

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Determine a solução das equações de diferença lineares homogênea de ordem 2 satisfazendo as condições iniciais dadas:
Considere a equação Considere e . Determine tal que .
Determine a solução das equações de diferença lineares de ordem 1: