Determine a solução das equações de diferença lineares homogênea de ordem 2 satisfazendo as condições iniciais dadas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de diferença do segundo grau:
com as condições iniciais
e
. O conteúdo que vamos usar aqui é de equações de diferença lineares homogêneas, que são tipo as versões discretas das equações diferenciais. Precisamos achar uma fórmula que dê o valor de
para qualquer
.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica dessa equação de diferença. Isso é parecido com resolver equações polinomiais para encontrar raízes que nos ajudam a montar a solução geral. A equação característica fica assim:
Isso porque substituímos
por
e
por
.
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação
. Subtraindo 4 de ambos os lados, temos:
Então, tirando a raiz quadrada:
As soluções são números complexos, que envolvem a unidade imaginária
.
Passo 4
Com as raízes
, sabemos que a solução geral para a equação é uma combinação linear de funções trigonométricas. A fórmula geral fica:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Vamos aplicar a primeira condição inicial
. Substituindo
na equação geral:
Sabemos que
e
, então:
Portanto,
.
Passo 6
Agora, aplicamos a segunda condição inicial
. Substituindo
na equação geral com
:
Então, isolando
:
Resposta
A solução da equação de diferença é:
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Considere a equação
Considere
e
. Determine
tal que
.
Determine a solução das equações de diferença lineares de ordem 1: