Determine a solução das equações de diferença lineares homogênea de ordem 2 satisfazendo as condições iniciais dadas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de diferença linear homogênea de segunda ordem:
Além disso, temos as condições iniciais:
Matéria envolvida: Equações de diferença lineares homogêneas, método característico.
O que precisamos: Encontrar a solução geral da equação e determinar os coeficientes usando as condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação característica associada à equação de diferença. Para uma equação de segunda ordem como essa, a equação característica é obtida substituindo
na equação original:
Podemos dividir ambos os lados por
(assumindo
):
Passo 3
Agora, resolvemos a equação característica:
Então, temos duas raízes reais e distintas:
e
.
Passo 4
Com as raízes da equação característica, a solução geral da equação de diferença é dada por:
Onde
e
são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.
Passo 5
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro, para
:
Segundo, para
:
Passo 6
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema.
Primeiro, da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Agora, substituindo
de volta na primeira equação:
Resposta
A solução da equação de diferença, satisfazendo as condições iniciais dadas, é:
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Determine a solução das equações de diferença lineares homogênea de ordem 2 satisfazendo as condições iniciais dadas:
Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 :
Determine a solução das equações de diferença lineares homogênea de ordem 2 satisfazendo as condições iniciais dadas:
Considere a equação
Considere
e
. Determine
tal que
.