Determine a solução das equações de diferença lineares homogênea de ordem 2 satisfazendo as condições iniciais dadas: y_{n+2} - 16 y_{n} = 0, y_{0} = a, y_{1} = b

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de diferença linear homogênea de segunda ordem:
Além disso, temos as condições iniciais:
Matéria envolvida: Equações de diferença lineares homogêneas, método característico.
O que precisamos: Encontrar a solução geral da equação e determinar os coeficientes usando as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação característica associada à equação de diferença. Para uma equação de segunda ordem como essa, a equação característica é obtida substituindo na equação original:
Podemos dividir ambos os lados por (assumindo ):

Passo 3

Agora, resolvemos a equação característica:
Então, temos duas raízes reais e distintas: e .

Passo 4

Com as raízes da equação característica, a solução geral da equação de diferença é dada por:
Onde C1 e C2 são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar C1 e C2.
Primeiro, para :
Segundo, para :

Passo 6

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema.
Primeiro, da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Agora, substituindo C2 de volta na primeira equação:

Resposta

A solução da equação de diferença, satisfazendo as condições iniciais dadas, é:

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