Determine a solução das equações de diferença lineares de ordem 1:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de diferença de primeira ordem que é do tipo
com a condição inicial
. Esse tipo de problema faz parte da matéria de Equações de Diferença, que é como as equações diferenciais, mas para sequências. Pra resolver, vamos precisar somar os termos de forma que a gente possa encontrar uma expressão para
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a equação nos diz. Ela relaciona o próximo termo da sequência (
) com o termo atual (
) e um polinômio em
. Para achar
, vamos somar ambos os lados da equação desde
até
, onde
é qualquer número inteiro positivo.
Passo 3
Vamos somar os termos:
No lado esquerdo, a soma telescópica ocorre, ou seja, muitos termos se cancelam:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a soma do lado direito. Isso envolve somar
,
e 1 para
de 0 até
. Sabemos que:
Então, juntando tudo:
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão:
Distribuindo e simplificando:
Passo 6
Agora, voltando à equação telescópica:
Sabemos que
, então:
Resposta
A solução geral da equação de diferença é: