Determine a solução das equações de diferença lineares de ordem 1: y_{n+1} - y_{n} = n^2 + n + 1, y_{0} = -2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de diferença de primeira ordem que é do tipo com a condição inicial . Esse tipo de problema faz parte da matéria de Equações de Diferença, que é como as equações diferenciais, mas para sequências. Pra resolver, vamos precisar somar os termos de forma que a gente possa encontrar uma expressão para .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a equação nos diz. Ela relaciona o próximo termo da sequência ( ) com o termo atual ( ) e um polinômio em . Para achar , vamos somar ambos os lados da equação desde até , onde é qualquer número inteiro positivo.

Passo 3

Vamos somar os termos:
No lado esquerdo, a soma telescópica ocorre, ou seja, muitos termos se cancelam:

Passo 4

Agora, precisamos calcular a soma do lado direito. Isso envolve somar , e 1 para de 0 até . Sabemos que:
Então, juntando tudo:

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão:
Distribuindo e simplificando:

Passo 6

Agora, voltando à equação telescópica:
Sabemos que , então:

Resposta

A solução geral da equação de diferença é:

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