Determine a solução das equações de diferença lineares de ordem 1:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de diferença de primeira ordem: com a condição inicial . A matéria que vamos usar aqui é Equações de Diferença Lineares de Ordem 1. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação, que envolve encontrar a solução da parte homogênea e uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, quando o lado direito é zero: . Essa é uma equação linear com coeficientes constantes, e sabemos que a solução tem a forma , onde é uma constante e é a razão a ser encontrada.

Passo 3

Substituindo na equação homogênea:
Para que isso seja válido para todo , precisamos que , então . Portanto, a solução homogênea é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa . Como o lado direito é , vamos tentar uma solução da forma , onde , e são constantes a determinar.

Passo 5

Substituindo na equação:
Simplificando:
Igualando ao lado direito da equação original :
Para que isso seja válido para todo , os coeficientes dos termos de mesma potência devem ser iguais:
Vemos que isso não é possível, o que indica que nossa suposição inicial para está errada. Isso acontece porque já está na solução homogênea. Então, multiplicamos nossa tentativa por e tentamos .

Passo 6

Vamos redefinir a solução particular como e repetir o processo. Substituindo na equação:
Simplificando e igualando aos termos de , encontramos os valores de , e :
Portanto, a solução particular é:

Passo 7

A solução geral da equação é a soma da solução homogênea com a particular:
Agora, usamos a condição inicial para encontrar :
Então, a solução final é:

Resposta

A solução da equação de diferença dada é .

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