Determine a solução das equações de diferença lineares de ordem 1:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de diferença de primeira ordem: com a condição inicial . A matéria que vamos usar aqui é Equações de Diferença Lineares de Ordem 1. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação, que envolve encontrar a solução da parte homogênea e uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, quando o lado direito é zero: . Essa é uma equação linear com coeficientes constantes, e sabemos que a solução tem a forma , onde é uma constante e é a razão a ser encontrada.
Passo 3
Substituindo na equação homogênea:
Para que isso seja válido para todo , precisamos que , então . Portanto, a solução homogênea é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa . Como o lado direito é , vamos tentar uma solução da forma , onde , e são constantes a determinar.
Passo 5
Substituindo na equação:
Simplificando:
Igualando ao lado direito da equação original :
Para que isso seja válido para todo , os coeficientes dos termos de mesma potência devem ser iguais:
Vemos que isso não é possível, o que indica que nossa suposição inicial para está errada. Isso acontece porque já está na solução homogênea. Então, multiplicamos nossa tentativa por e tentamos .
Passo 6
Vamos redefinir a solução particular como e repetir o processo. Substituindo na equação:
Simplificando e igualando aos termos de , encontramos os valores de , e :
Portanto, a solução particular é:
Passo 7
A solução geral da equação é a soma da solução homogênea com a particular: