Considere a equação , onde . Deduza uma expressão para as suas raizes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação do segundo grau na forma , onde , e são números complexos. Nosso objetivo é encontrar uma fórmula que nos dê as raízes dessa equação. Para isso, vamos usar a famosa Fórmula de Bhaskara, que funciona para números complexos também.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a Fórmula de Bhaskara. Para uma equação do tipo , as raízes são dadas por:
Essa fórmula nos dá as soluções que satisfazem a equação.

Passo 3

Agora, precisamos garantir que essa fórmula funciona mesmo quando , e são números complexos. A boa notícia é que a Fórmula de Bhaskara é válida para números complexos porque os complexos formam um campo algébrico fechado, ou seja, as operações de soma, subtração, multiplicação e divisão (exceto por zero) estão sempre definidas dentro dos números complexos.

Passo 4

Vamos interpretar cada parte da fórmula:
  • : simplesmente o oposto de .
  • : a raiz quadrada do discriminante, que no caso complexo pode resultar em outro número complexo.
  • : o dobro de , que está no denominador para dividir toda a expressão.

Passo 5

Portanto, aplicando a Fórmula de Bhaskara para números complexos, a expressão das raízes da equação é:

Resposta

As raízes da equação são dadas por:

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Resolva o seguinte sistema .
Assinale a(s) alternativa(s) correta(s). Suponha que é uma curva de nível da função , que possui derivadas parciais bem definidas em . Então:
Resolva as equações:
Reduza à forma :
.