Considere as equações autônomas abaixo. Em cada caso, determine os pontos críticos da equação e classifique-os quando a sua estabilidade. Sem resolver explicitamente as equações diferenciais, esboce os gráficos das suas soluções para diferentes condições iniciais
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de equações autônomas! A tarefa é encontrar os pontos críticos de cada equação, classificar a estabilidade deles e desenhar os gráficos das soluções para diferentes condições iniciais. Para isso, vamos precisar entender o que são pontos críticos e como analisar a estabilidade de cada um.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos de cada equação. Os pontos críticos são os valores de
onde a derivada
é igual a zero. Ou seja, resolvemos
para
.
Passo 3
Depois de encontrar os pontos críticos, vamos analisar a estabilidade deles. Isso significa verificar se, próximo a esses pontos, as soluções do sistema tendem a se aproximar (estável) ou se afastam (instável).
Passo 4
Por fim, vamos esboçar os gráficos das soluções para diferentes condições iniciais
. Isso nos ajuda a visualizar como o sistema se comporta ao longo do tempo a partir de diferentes pontos de partida.
Resposta
“nulo”
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Uma equação que modela o crescimento populacional é a equação de Gompertz,
onde re K são constantes positivas.
Esboce o gráfico de em função de y. A partir daí encontre os pontos críticos dessa equação diferencial autônoma e determine se cada um deles é estável ou instável.
Esboce o gráfico de
Sabe-se que o Césio-137 é um elemento radioativo e que a sua meia-vida é de 30 anos. Suponha que temos uma amostra com 200mg de Césio-137.
Depois de quanto tempo teremos apenas 1 mg de Césio-137 na amostra?
Depois de quanto tempo teremos apenas 1 mg de Césio-137 na amostra?
Determine
que satisfaça as condições dadas.
Resolva as equações.