Uma equação que modela o crescimento populacional é a equação de Gompertz,
onde re K são constantes positivas.
Esboce o gráfico de
em função de y. A partir daí encontre os pontos críticos dessa equação diferencial autônoma e determine se cada um deles é estável ou instável.
Esboce o gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente desenhar o gráfico da função
em função de
. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais autônomas, especificamente a equação de Gompertz, que modela o crescimento populacional. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta, encontrar os pontos críticos onde a derivada é zero e ver se esses pontos são estáveis ou instáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Aqui,
e
são constantes positivas. A função envolve o logaritmo natural, que nos dá uma ideia de como a população cresce em relação a
.
Para esboçar o gráfico, vamos analisar alguns pontos importantes:
-
Quando
: Então, o ponto (0, 0). -
Quando
: Então, o ponto (K, 0). -
Comportamento para
:
O logaritmo naturalé positivo porque , então será positivo. -
Comportamento para
:
O logaritmoé negativo porque , então será negativo.
Com base nisso, o gráfico vai começar no ponto (0, 0), subir até um ponto máximo e depois descer novamente cruzando o eixo
em
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos da equação diferencial. Pontos críticos acontecem onde
.
Temos:
Isso ocorre quando:
Como
é uma constante positiva e
é uma variável populacional (portanto, não negativa), temos:
Então, os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Vamos determinar se esses pontos críticos são estáveis ou instáveis.
Para isso, analisamos o sinal de
próximo aos pontos críticos:
-
Ponto
: - Para
ligeiramente maior que 0 ( ), : a população aumenta. - Portanto, se a população está perto de 0, ela tende a aumentar, afastando-se de 0.
- Conclusão:
é um ponto instável.
- Para
-
Ponto
: - Para
, : população aumenta. - Para
, : população diminui. - Isso significa que se a população está próxima de
, ela tende a se aproximar de tanto aumentando quanto diminuindo. - Conclusão:
é um ponto estável.
- Para
Resposta
Os pontos críticos da equação diferencial são
e
. O ponto
é instável, já que a população tende a se afastar dele, enquanto o ponto
é estável, pois a população tende a se aproximar desse valor.