Uma equação que modela o crescimento populacional é a equação de Gompertz,
onde re K são constantes positivas.
Esboce o gráfico de em função de y. A partir daí encontre os pontos críticos dessa equação diferencial autônoma e determine se cada um deles é estável ou instável.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente desenhar o gráfico da função em função de . Isso faz parte do estudo de equações diferenciais autônomas, especificamente a equação de Gompertz, que modela o crescimento populacional. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta, encontrar os pontos críticos onde a derivada é zero e ver se esses pontos são estáveis ou instáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Aqui, e são constantes positivas. A função envolve o logaritmo natural, que nos dá uma ideia de como a população cresce em relação a .
Para esboçar o gráfico, vamos analisar alguns pontos importantes:
  1. Quando :
    Então, o ponto (0, 0).
  2. Quando :
    Então, o ponto (K, 0).
  3. Comportamento para :
    O logaritmo natural é positivo porque , então será positivo.
  4. Comportamento para :
    O logaritmo é negativo porque , então será negativo.
Com base nisso, o gráfico vai começar no ponto (0, 0), subir até um ponto máximo e depois descer novamente cruzando o eixo em .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos da equação diferencial. Pontos críticos acontecem onde .
Temos:
Isso ocorre quando:
Como é uma constante positiva e é uma variável populacional (portanto, não negativa), temos:
Então, os pontos críticos são e .

Passo 4

Vamos determinar se esses pontos críticos são estáveis ou instáveis.
Para isso, analisamos o sinal de próximo aos pontos críticos:
  1. Ponto :
    • Para ligeiramente maior que 0 ( ), : a população aumenta.
    • Portanto, se a população está perto de 0, ela tende a aumentar, afastando-se de 0.
    • Conclusão: é um ponto instável.
  2. Ponto :
    • Para , : população aumenta.
    • Para , : população diminui.
    • Isso significa que se a população está próxima de , ela tende a se aproximar de tanto aumentando quanto diminuindo.
    • Conclusão: é um ponto estável.

Resposta

Os pontos críticos da equação diferencial são e . O ponto é instável, já que a população tende a se afastar dele, enquanto o ponto é estável, pois a população tende a se aproximar desse valor.

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Sabe-se que o Césio-137 é um elemento radioativo e que a sua meia-vida é de 30 anos. Suponha que temos uma amostra com 200mg de Césio-137.
Depois de quanto tempo teremos apenas 1 mg de Césio-137 na amostra?
Resolva as equações diferenciais abaixo apresentado a máxima simplificação.
Considere as equações autônomas abaixo. Em cada caso, determine os pontos críticos da equação e classifique-os quando a sua estabilidade. Sem resolver explicitamente as equações diferenciais, esboce os gráficos das suas soluções para diferentes condições iniciais .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
Determine que satisfaça as condições dadas.