Vamos resolver a equação diferencial dada: , com a condição inicial . Para isso, vamos usar a técnica de separação de variáveis, que nos ajuda a reorganizar a equação de forma a integrar ambos os lados facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis e . Isso significa colocar todos os termos com de um lado e os termos com do outro:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo pode ser resolvida utilizando frações parciais. Primeiro, fatoramos o denominador:
Então, expressamos a fração como soma de frações parciais:
Resolvendo para e , encontramos:
Portanto, a integral fica:
Integrando ambos os lados:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão combinando os logaritmos:
Multiplicando ambos os lados por 4 para facilitar:
Passo 5
Agora, vamos resolver para . Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Resolvendo para :
Passo 6
Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor de :