Determine y = y(x) que satisfaça as condições dadas. dy/dx = y^2 - 4, y(0) = 1

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial dada: , com a condição inicial . Para isso, vamos usar a técnica de separação de variáveis, que nos ajuda a reorganizar a equação de forma a integrar ambos os lados facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis e . Isso significa colocar todos os termos com de um lado e os termos com do outro:

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo pode ser resolvida utilizando frações parciais. Primeiro, fatoramos o denominador:
Então, expressamos a fração como soma de frações parciais:
Resolvendo para e , encontramos:
Portanto, a integral fica:
Integrando ambos os lados:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão combinando os logaritmos:
Multiplicando ambos os lados por 4 para facilitar:

Passo 5

Agora, vamos resolver para . Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Resolvendo para :

Passo 6

Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor de :
Resolvendo para :

Resposta

Substituindo na expressão para :
Portanto, a solução da equação diferencial é:

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