Considere as equações dadas a seguir:
I. y = 2 x - cos x
II. y = x^3 - 2x - 5
Utilize precisão epsilon = 10^(-2) e realize seus cálculos com 6 casas decimais. Por meio do método da bisseção, determine a raiz da primeira equação.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício! A gente tem duas equações:
I.
II.
A tarefa é encontrar a raiz da primeira equação ( ) usando o método da bisseção com uma precisão de (ou seja, 0,01) e realizando cálculos com 6 casas decimais. Para isso, vamos precisar entender como funciona o método da bisseção e aplicá-lo passo a passo para encontrar o valor de que zera a função.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma raiz de uma função. A raiz de uma função é o valor de que faz com que . No nosso caso, queremos encontrar tal que:
Para resolver isso, vamos usar o método da bisseção, que é um método numérico para encontrar raízes de funções contínuas. A ideia é escolher um intervalo onde a função muda de sinal (ou seja, ), garantindo que exista pelo menos uma raiz nesse intervalo. Depois, vamos reduzir esse intervalo pela metade repetidamente até que a largura do intervalo seja menor que a precisão desejada ( ).

Passo 3

Vamos começar encontrando um intervalo onde . Definimos nossa função como:
Vamos testar alguns valores para encontrar onde a função muda de sinal.
  • Para :
  • Para :
Como e , temos . Portanto, o intervalo inicial é .

Passo 4

Agora, vamos aplicar o método da bisseção. A cada iteração, calculamos o ponto médio do intervalo e avaliamos . Dependendo do sinal de , substituímos ou pelo valor de para obter um novo intervalo que ainda contenha a raiz. Repetimos esse processo até que a largura do intervalo seja menor que .
Vamos mostrar as iterações:
Iteração 1:
  • ,
  • Como , a nova intervalo é
Iteração 2:
  • ,
  • Como , a nova intervalo é
Iteração 3:
  • ,
  • Como , a nova intervalo é
Iteração 4:
  • ,
  • Como , a nova intervalo é
Iteração 5:
  • ,
  • Como , a nova intervalo é
Iteração 6:
  • ,
  • Como , a nova intervalo é
Iteração 7:
  • ,
  • Como , a nova intervalo é
Iteração 8:
  • ,
  • Como , a nova intervalo é
Iteração 9:
  • ,
  • Como , a nova intervalo é
Iteração 10:
  • ,
  • Como , a nova intervalo é
Neste ponto, a largura do intervalo é , que é menor que . Portanto, podemos parar as iterações.

Resposta

A raiz da equação aproximada pelo método da bisseção com precisão é .

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