Considere as equações dadas a seguir:
I.
II.
Utilize precisão
e realize seus cálculos com 6 casas decimais. Por meio do método da bisseção, determine a raiz da primeira equação.
I.
II.
Utilize precisão
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício! A gente tem duas equações:
I.
II.
A tarefa é encontrar a raiz da primeira equação (
) usando o método da bisseção com uma precisão de
(ou seja, 0,01) e realizando cálculos com 6 casas decimais. Para isso, vamos precisar entender como funciona o método da bisseção e aplicá-lo passo a passo para encontrar o valor de
que zera a função.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma raiz de uma função. A raiz de uma função
é o valor de
que faz com que
. No nosso caso, queremos encontrar
tal que:
Para resolver isso, vamos usar o método da bisseção, que é um método numérico para encontrar raízes de funções contínuas. A ideia é escolher um intervalo
onde a função muda de sinal (ou seja,
), garantindo que exista pelo menos uma raiz nesse intervalo. Depois, vamos reduzir esse intervalo pela metade repetidamente até que a largura do intervalo seja menor que a precisão desejada (
).
Passo 3
Vamos começar encontrando um intervalo
onde
. Definimos nossa função como:
Vamos testar alguns valores para encontrar onde a função muda de sinal.
-
Para
: -
Para
:
Como
e
, temos
. Portanto, o intervalo inicial é
.
Passo 4
Agora, vamos aplicar o método da bisseção. A cada iteração, calculamos o ponto médio
do intervalo
e avaliamos
. Dependendo do sinal de
, substituímos
ou
pelo valor de
para obter um novo intervalo que ainda contenha a raiz. Repetimos esse processo até que a largura do intervalo seja menor que
.
Vamos mostrar as iterações:
Iteração 1:
-
, -
-
- Como
, a nova intervalo é
Iteração 2:
-
, -
-
- Como
, a nova intervalo é
Iteração 3:
-
, -
-
- Como
, a nova intervalo é
Iteração 4:
-
, -
-
- Como
, a nova intervalo é
Iteração 5:
-
, -
-
- Como
, a nova intervalo é
Iteração 6:
-
, -
-
- Como
, a nova intervalo é
Iteração 7:
-
, -
-
- Como
, a nova intervalo é
Iteração 8:
-
, -
-
- Como
, a nova intervalo é
Iteração 9:
-
, -
-
- Como
, a nova intervalo é
Iteração 10:
-
, -
-
- Como
, a nova intervalo é
Neste ponto, a largura do intervalo é
, que é menor que
. Portanto, podemos parar as iterações.
Resposta
A raiz da equação
aproximada pelo método da bisseção com precisão
é
.