Considere as equações paramétricas da curva parametrizada
:
Então, encontre a área da superfície gerada pela rotação da curva
em torno do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva dada por equações paramétricas:
A gente quer descobrir a área da superfície que forma quando essa curva é rodada em torno do eixo
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente de cálculo integral aplicado a superfícies de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular a área da superfície gerada pela rotação de uma curva paramétrica em torno do eixo
. A fórmula geral é:
Aqui,
e
são as funções paramétricas da curva, e
e
são suas derivadas em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
:
Passo 4
Agora, substituímos
,
e
na fórmula da área:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a raiz fica:
Passo 6
Substituímos de volta na fórmula da área:
Passo 7
Para resolver essa integral, usamos a substituição
, daí
. Precisamos ajustar a integral para essa substituição:
Como
, podemos escrever
.
Passo 8
Substituindo na integral:
Simplificando:
Passo 9
Integrando termo a termo:
Então:
Passo 10
Calculando os limites da integral:
Para :
Para
Para
:
Então, a diferença:
Passo 11
Agora, multiplicamos tudo por
:
Simplificando os coeficientes:
Resposta
A área da superfície gerada pela rotação da curva
em torno do eixo
é:
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:
Então, encontre a área da superfície gerada pela rotação da curva
em torno do eixo
.
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.
Verifique se a função
é solução da equação diferencial.
Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais.