Considere as equações paramétricas da curva parametrizada :
Então, encontre a área da superfície gerada pela rotação da curva em torno do eixo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva dada por equações paramétricas:
A gente quer descobrir a área da superfície que forma quando essa curva é rodada em torno do eixo . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente de cálculo integral aplicado a superfícies de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular a área da superfície gerada pela rotação de uma curva paramétrica em torno do eixo . A fórmula geral é:
Aqui, e são as funções paramétricas da curva, e e são suas derivadas em relação a .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de e em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos , e na fórmula da área:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a raiz fica:

Passo 6

Substituímos de volta na fórmula da área:

Passo 7

Para resolver essa integral, usamos a substituição , daí . Precisamos ajustar a integral para essa substituição:
Como , podemos escrever .

Passo 8

Substituindo na integral:
Simplificando:

Passo 9

Integrando termo a termo:
Então:

Passo 10

Calculando os limites da integral:
Para :
Para :
Então, a diferença:

Passo 11

Agora, multiplicamos tudo por :
Simplificando os coeficientes:

Resposta

A área da superfície gerada pela rotação da curva em torno do eixo é:

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Considere as equações paramétricas da curva parametrizada :
Então, encontre a área da superfície gerada pela rotação da curva em torno do eixo .
Considere as equações paramétricas da curva parametrizada :
Então, encontre a área da superfície gerada pela rotação da curva em torno do eixo .
Verifique se a função é solução da equação diferencial.
Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais.