Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é:
Esse tipo de equação é chamada de equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar um método que envolve encontrar um fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para ficar na forma padrão de uma equação linear:
Dividindo todos os termos por
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a simplificar a equação. A fórmula para o fator integrante
é:
Substituindo
Passo 4
Simplificando o fator integrante:
Como
Mas para facilitar, vamos considerar só
já que a constante será absorvida depois.
Passo 5
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Isso agora está na forma que podemos integrar facilmente.
Passo 6
Perceba que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto
:
Agora, integramos ambos os lados em relação a
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Finalmente, resolvemos para
:
Podemos reescrever de forma mais elegante:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Verifique se a função
é solução da equação diferencial.
Considere as equações paramétricas da curva parametrizada
:
Então, encontre a área da superfície gerada pela rotação da curva
em torno do eixo
.
O nuclídeo radioativo plutônio 241 decai de acordo com a equação diferencial
onde
está em miligramas e
em anos.
Determine a meia-vida do plutônio 241 .
Determine a meia-vida
Suponha que a população da Terra está aumentando a uma taxa proporcional à população. Calcula-se que no instante
(1650 d.C.) a população da Terra era de
600 milhões de habitantes e que no instante
(1950 d.C.) era de 2,8 bilhões
.
Supondo que a maior população que a Terra é capaz de suportar seja 25 bilhões de habitantes , quando será atingido este limite?
600 milhões de habitantes
Supondo que a maior população que a Terra é capaz de suportar seja 25 bilhões de habitantes