Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais.
t^2 y' + 3 t y = sen(t) / t, t < 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é:

Esse tipo de equação é chamada de equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar um método que envolve encontrar um fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para ficar na forma padrão de uma equação linear:

Dividindo todos os termos por , temos:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a simplificar a equação. A fórmula para o fator integrante é:

Substituindo :

Passo 4

Simplificando o fator integrante:

Como , podemos escrever:
Mas para facilitar, vamos considerar só já que a constante será absorvida depois.

Passo 5

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :

Simplificando:
Isso agora está na forma que podemos integrar facilmente.

Passo 6

Perceba que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto :

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, resolvemos para :

Podemos reescrever de forma mais elegante:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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