Verifique se a função y = y(t) é solução da equação diferencial.
y' - 2t y = -2t y^2, y(t) = e^(t^2) / (e^(t^2) + 2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a função é uma solução da equação diferencial . Isso envolve conhecimentos de cálculo, especialmente derivadas e equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . Para isso, vamos usar a regra do quociente, que nos ajuda a derivar funções que são frações.
A função é:
Aplicando a regra do quociente:
Calculando as derivadas no numerador:
Substituindo de volta:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão de :

Passo 4

Agora que temos , vamos substituir e na equação diferencial original para verificar se a igualdade é verdadeira:
Substituindo:
Vamos simplificar o lado esquerdo:
Agora, o lado direito:

Passo 5

Comparando os dois lados da equação, vemos que:
Isso significa que a igualdade é verdadeira para todo valor de . Portanto, a fun��ão satisfaz a equação diferencial dada.

Resposta

Sim, a função é uma solução da equação diferencial .

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