Considere as equações polinomiais x^2+a x+1=0 e x^2+x+a=0, onde a in C. Encontre todos os valores de a para os quais essas equações possuem ao menos uma solução em comum.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas equações quadráticas:
x^2 + a x + 1 = 0
e
x^2 + x + a = 0
onde é um número complexo. A pergunta é: Para quais valores de essas duas equações têm pelo menos uma solução em comum?
Vamos usar conceitos de álgebra, especificamente sobre equações polinomiais e como encontrar raízes comuns entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar que existe um valor x0^2 + a x0 + 1 = 0 (1) que é solução das duas equações. Isso significa que:
x0^2 + x0 + a = 0 (2)
e

Passo 3

Para encontrar (x0^2 + a x0 + 1) - (x0^2 + x0 + a) = 0 , vamos subtrair a equação (2) da equação (1):
(a x0 - x0) + (1 - a) = 0 (a - 1) x0 + (1 - a) = 0
Simplificando:

Passo 4

Podemos fatorar (a - 1)(x0 - 1) = 0 :
Isso nos dá duas possibilidades:

Passo 5

Vamos analisar cada caso:
Caso 1: x^2 + 1 cdot x + 1 = 0 x^2 + x + 1 = 0
Substituindo na primeira equação:
x^2 + x + 1 = 0
E na segunda equação:
1^2 + a cdot 1 + 1 = 0 1 + a + 1 = 0 a + 2 = 0 a = -2
Vemos que as duas equações são iguais, ou seja, elas têm as mesmas soluções. Portanto, é uma solução válida.
Caso 2:
Substituindo na primeira equação:
Então, também é uma solução válida.

Resposta

Os valores de a = 1 e a = -2 que fazem com que as duas equações possuam pelo menos uma solução em comum são:

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