Considere as equações polinomiais
e
, onde
. Encontre todos os valores de
para os quais essas equações possuem ao menos uma solução em comum.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas equações quadráticas:
e
onde
é um número complexo. A pergunta é: Para quais valores de
essas duas equações têm pelo menos uma solução em comum?
Vamos usar conceitos de álgebra, especificamente sobre equações polinomiais e como encontrar raízes comuns entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar que existe um valor
que é solução das duas equações. Isso significa que:
e
Passo 3
Para encontrar
, vamos subtrair a equação (2) da equação (1):
Simplificando:
Passo 4
Podemos fatorar
:
Isso nos dá duas possibilidades:
Passo 5
Vamos analisar cada caso:
Caso 1:
Substituindo na primeira equação:
E na segunda equação:
Vemos que as duas equações são iguais, ou seja, elas têm as mesmas soluções. Portanto,
é uma solução válida.
Caso 2:
Substituindo
na primeira equação:
Então,
também é uma solução válida.
Resposta
Os valores de
que fazem com que as duas equações possuam pelo menos uma solução em comum são: