Verifique se o conjunto abaixo é LI ou LD . Justifique sua resposta.
A=(1,2,-1),(-3,4,-1),(2,-6,2)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um conjunto de vetores e precisamos descobrir se esse conjunto é Linearmente Independente (LI) ou Linearmente Dependente (LD). Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre combinação linear e independência de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente ou dependente. Vetores são linearmente independentes se nenhuma combinação linear deles resulta no vetor zero, a menos que todos os coeficientes sejam zero. Se for possível expressar um vetor como combinação linear dos outros, então os vetores são linearmente dependentes.

Passo 3

Vamos verificar se algum dos vetores em (2, -6, 2) = a cdot (1,2,-1) + b cdot (-3,4,-1) pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Vamos tentar expressar o terceiro vetor como uma combinação dos dois primeiros vetores e .
Isso significa que queremos encontrar escalares e tais que:

Passo 4

Vamos montar as equações correspondentes a cada componente:
1a - 3b = 2 (componente x)
2a + 4b = -6 (componente y)
-1a - 1b = 2 (componente z)

Passo 5

Resolvendo a primeira equação para a = 2 + 3b :
2(2 + 3b) + 4b = -6
Substituímos 4 + 6b + 4b = -6 na segunda equação:
10b = -10 Rightarrow b = -1
a = 2 + 3(-1) = -1
Agora, substituímos na equação para :

Passo 6

Vamos verificar na terceira equação:
-(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2
Isso confirma que as soluções e satisfazem todas as três equações.

Resposta

O conjunto é linearmente dependente (LD).

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