Determine a norma do vetor obtido com a projeção ortogonal de u sobre v.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Você quer saber qual é a norma (ou tamanho) do vetor que resulta da projeção ortogonal do vetor u sobre o vetor v. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente projeção de vetores e cálculo de norma.

Passo 2

Primeiro, precisamos relembrar como calcular a projeção ortogonal de um vetor sobre outro. A fórmula da projeção de u sobre v é:
projv,u = ( u cdot vv cdot v ) v
Aqui, u cdot v representa o produto escalar dos vetores u e v.

Passo 3

Agora, para encontrar a norma do vetor projetado, vamos calcular o comprimento desse vetor. A norma de um vetor w é dada por:
|w| = raizw cdot w
Mas, como w é a projeção de u sobre v, podemos substituir na fórmula da norma:
|projv,u| = raiz( u cdot vv cdot v )^2 (v cdot v)

Passo 4

Simplificando a expressão acima:
|projv,u| = |u cdot v||v|
Aqui, |v| é a norma do vetor v e |u cdot v| é o valor absoluto do produto escalar dos vetores.

Resposta

A norma do vetor obtido com a projeção ortogonal de u sobre v é:
|projv,u| = |u cdot v||v|

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