Verifique se W=(x, y, z, t) in R^4 ; 2 x+y-z=0 e 3 y-2 t=0 é um subespaço vetorial do R^4 em relação as operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Em seguida, determine a dimensão e uma base para W.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Temos o conjunto . A tarefa é verificar se esse conjunto é um subespaço vetorial de usando as operações normais de adição e multiplicação por escalar. Em seguida, precisamos determinar a dimensão de e encontrar uma base para ele. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como subespaços vetoriais, sistemas lineares e bases.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se é um subespaço vetorial. Para isso, precisamos checar três propriedades:
  1. O vetor zero está em .
  2. Se dois vetores estão em , a soma deles também está.
  3. Se um vetor está em , qualquer múltiplo escalar dele também está.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades.

Passo 3

Propriedade 1: O vetor zero em 2(0) + 0 - 0 = 0 e 3(0) - 2(0) = 0 é . Vamos ver se ele satisfaz as equações que definem :
Ambas as equações são verdadeiras, então o vetor zero está em .

Passo 4

Propriedade 2: Suponha que 2x1 + y1 - z1 = 0 e 3y1 - 2t1 = 0 e 2x2 + y2 - z2 = 0 e 3y2 - 2t2 = 0 estão em 2(x1 + x2) + (y1 + y2) - (z1 + z2) = (2x1 + y1 - z1) + (2x2 + y2 - z2) = 0 + 0 = 0 . Isso significa que:
3(y1 + y2) - 2(t1 + t2) = (3y1 - 2t1) + (3y2 - 2t2) = 0 + 0 = 0
Vamos ver se também está em :
Então, também está em .

Passo 5

Propriedade 3: Seja 2(kx) + (ky) - (kz) = k(2x + y - z) = k cdot 0 = 0 um vetor em 3(ky) - 2(kt) = k(3y - 2t) = k cdot 0 = 0 e um escalar. Precisamos verificar se está em :
Portanto, também está em .

Passo 6

Como todas as três propriedades são satisfeitas, concluímos que é realmente um subespaço vetorial de .

Passo 7

Agora, vamos determinar a dimensão de 2x + y - z = 0 (1) e encontrar uma base para ele. Para isso, vamos resolver o sistema de equações que define 3y - 2t = 0 (2) :
Podemos expressar algumas variáveis em termos de outras livres. Vamos escolher e como variáveis livres.

Passo 8

Da equação (2):
3y - 2t = 0 Rightarrow y = 23t
Substituindo 2x + 23t - z = 0 Rightarrow 2x = z - 23t Rightarrow x = z2 - 13t na equação (1):
Então, podemos expressar e em termos de e .

Passo 9

Escrevendo o vetor x y z t = z2 - 13t 23t z t = z 12 0 1 0 + t -13 23 0 1 em termos das variáveis livres e :
[

z
+
t
]
Isso mostra que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear das duas matrizes acima.

Passo 10

Portanto, uma base para 12 0 1 0 , -13 23 0 1 é formada por esses dois vetores:
Como temos dois vetores na base, a dimensão de é 2.

Resposta

12 0 1 0 , -13 23 0 1 é um subespaço vetorial de com dimensão 2 e uma base para é:

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