Verifique se é um subespaço vetorial do em relação as operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Em seguida, determine a dimensão e uma base para .
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Temos o conjunto . A tarefa é verificar se esse conjunto é um subespaço vetorial de usando as operações normais de adição e multiplicação por escalar. Em seguida, precisamos determinar a dimensão de e encontrar uma base para ele. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como subespaços vetoriais, sistemas lineares e bases.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se é um subespaço vetorial. Para isso, precisamos checar três propriedades:
O vetor zero está em .
Se dois vetores estão em , a soma deles também está.
Se um vetor está em , qualquer múltiplo escalar dele também está.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades.
Passo 3
Propriedade 1: O vetor zero em é . Vamos ver se ele satisfaz as equações que definem :
Ambas as equações são verdadeiras, então o vetor zero está em .
Passo 4
Propriedade 2: Suponha que e estão em . Isso significa que:
Vamos ver se também está em :
Então, também está em .
Passo 5
Propriedade 3: Seja um vetor em e um escalar. Precisamos verificar se está em :
Portanto, também está em .
Passo 6
Como todas as três propriedades são satisfeitas, concluímos que é realmente um subespaço vetorial de .
Passo 7
Agora, vamos determinar a dimensão de e encontrar uma base para ele. Para isso, vamos resolver o sistema de equações que define :
Podemos expressar algumas variáveis em termos de outras livres. Vamos escolher e como variáveis livres.
Passo 8
Da equação (2):
Substituindo na equação (1):
Então, podemos expressar e em termos de e .
Passo 9
Escrevendo o vetor em termos das variáveis livres e :
[
z
+
t
]
Isso mostra que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear das duas matrizes acima.
Passo 10
Portanto, uma base para 12 0 1 0 , -13 23 0 1 é formada por esses dois vetores:
Como temos dois vetores na base, a dimensão de é 2.
Resposta
12 0 1 0 , -13 23 0 1 é um subespaço vetorial de com dimensão 2 e uma base para é: