Sejam u e
vetores fixos de um espaço vetorial euclidiano. Achar o vetor de menor norma do conjunto
, supondo
.
Solução
Seja
tv. Então
Daí
O vetor de menor norma no conjunto dado é aquele cujo coeficiente
anula a derivada acima. Então:
e a resposta do problema é
.
Solução
Seja
Passo 1
Então, a gente tem dois vetores fixos,
e
, em um espaço vetorial euclidiano. A tarefa aqui é encontrar qual combinação desses vetores, na forma
, tem a menor norma possível. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial e cálculo, como a norma de um vetor e derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar o vetor
. A norma de
, que é o comprimento desse vetor, é dada por:
Aqui,
representa o produto interno, que basicamente multiplica os componentes correspondentes dos vetores e soma tudo.
Passo 3
Vamos expandir essa expressão para facilitar o cálculo:
Isso resulta de multiplicar
por ele mesmo usando o produto interno.
Passo 4
Para encontrar o valor de
que minimiza a norma de
, vamos derivar
em relação a
e igualar a zero. Vamos calcular a derivada:
Passo 5
Agora, vamos igualar essa derivada a zero para encontrar o ponto mínimo:
Resolvendo para
:
Resposta
Portanto, o vetor de menor norma no conjunto dado é: