Sejam u e v vetores fixos de um espaço vetorial euclidiano. Achar o vetor de menor norma do conjunto u+tv mid t in R, supondo v neq o.
Solução
Seja w=u+ tv. Então
|w|=raizlang<= u+t v, u+t v>=raiz|u|^2+2t+|v|^2 t^2
Daí
d|w|d t=2lang<= u, vrang<=+2|v|^2 t2 raiz|u|^2+2lang<= u, vrang<= t+|v|^2 t^2
O vetor de menor norma no conjunto dado é aquele cujo coeficiente t anula a derivada acima. Então:
t=-lang<= u, vrang<=|v|^2
e a resposta do problema é w0=u-lang<= u, vrang<=|v|^2 v.

Passo 1

Então, a gente tem dois vetores fixos, e , em um espaço vetorial euclidiano. A tarefa aqui é encontrar qual combinação desses vetores, na forma , tem a menor norma possível. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial e cálculo, como a norma de um vetor e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar o vetor |w| = raizlang<= u + tv, u + tv rang<= . A norma de , que é o comprimento desse vetor, é dada por:
Aqui, representa o produto interno, que basicamente multiplica os componentes correspondentes dos vetores e soma tudo.

Passo 3

Vamos expandir essa expressão para facilitar o cálculo:
|w| = raiz|u|^2 + 2lang<= u, v rang<= t + |v|^2 t^2
Isso resulta de multiplicar por ele mesmo usando o produto interno.

Passo 4

Para encontrar o valor de d|w|dt = 2lang<= u, v rang<= + 2|v|^2 t2 raiz|u|^2 + 2lang<= u, v rang<= t + |v|^2 t^2 que minimiza a norma de , vamos derivar em relação a e igualar a zero. Vamos calcular a derivada:

Passo 5

Agora, vamos igualar essa derivada a zero para encontrar o ponto mínimo:
2lang<= u, v rang<= + 2|v|^2 t = 0
Resolvendo para t = -lang<= u, v rang<=|v|^2 :

Resposta

Portanto, o vetor de menor norma no conjunto dado é:
w0 = u - lang<= u, v rang<=|v|^2 v

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