Considere as equações que regem o movimento em um escoamento axi-simétrico:
Obtenha uma formulação simplificada para o caso de escoamento unidirecional.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre as equações que descrevem o movimento em um fluxo axi-simétrico. Isso significa que estamos analisando como um fluido se movimenta em torno de um eixo, como por exemplo, a água fluindo por um cano redondo. As equações dadas são as versões do equilíbrio de massa e da segunda lei de Newton para esse tipo de fluxo. Para resolver o exercício, vamos precisar entender essas equações e simplificá-las para o caso de escoamento unidirecional, ou seja, onde o fluido se move apenas em uma direção, sem variação nas outras.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a primeira equação:
Essa é a equação da continuidade, que assegura que a massa do fluido seja conservada. Ela relaciona as velocidades nas direções radial (
) e axial (
). Nosso objetivo é simplificar isso para um fluxo onde o movimento é unidirecional, ou seja, apenas em uma direção (axial).
Passo 3
No escoamento unidirecional, assumimos que não há movimento na direção radial, então
. Vamos substituir isso na equação da continuidade:
Simplificando:
Isso nos diz que a velocidade axial
não varia com a posição
.
Passo 4
Agora, vamos olhar para as equações de movimento. Como o fluxo é unidirecional e apenas na direção axial (
), as derivadas em relação a
e
para as outras direções serão nulas. Além disso, como
, muitas das termos das equações originais vão desaparecer.
Passo 5
Focando na equação para
, com
, temos:
Como
pela continuidade, as derivadas em
se anulam:
Passo 6
A equação final simplificada para o escoamento unidirecional axi-simétrico fica assim:
Essa é uma versão mais simples das equações de movimento para o caso específico de escoamento unidirecional em um fluxo axi-simétrico.
Resposta
A formulação simplificada para o caso de escoamento unidirecional axi-simétrico é: