Considere as equações que regem o movimento em um escoamento axi-simétrico:
partial vzpartial z+1r partialpartial r(r vr)=0 partial vzpartial t+vr partial vzpartial r+vz partial vzpartial z=-1rho partial ppartial z+v(1r partialpartial r(r partial vzpartial r)+partial^2 vzpartial z^2) partial vrpartial t+vr partial vrpartial r+vz partial vrpartial z=-1rho partial ppartial r+v(1r partialpartial r(r partial vrpartial r)+partial^2 vrpartial z^2+vrr^2)
Obtenha uma formulação simplificada para o caso de escoamento unidirecional.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre as equações que descrevem o movimento em um fluxo axi-simétrico. Isso significa que estamos analisando como um fluido se movimenta em torno de um eixo, como por exemplo, a água fluindo por um cano redondo. As equações dadas são as versões do equilíbrio de massa e da segunda lei de Newton para esse tipo de fluxo. Para resolver o exercício, vamos precisar entender essas equações e simplificá-las para o caso de escoamento unidirecional, ou seja, onde o fluido se move apenas em uma direção, sem variação nas outras.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a primeira equação:
partial vzpartial z+1r partialpartial r(r vr)=0
Essa é a equação da continuidade, que assegura que a massa do fluido seja conservada. Ela relaciona as velocidades nas direções radial ( vr) e axial ( vz). Nosso objetivo é simplificar isso para um fluxo onde o movimento é unidirecional, ou seja, apenas em uma direção (axial).

Passo 3

No escoamento unidirecional, assumimos que não há movimento na direção radial, então vr = 0. Vamos substituir isso na equação da continuidade:
partial vzpartial z + 1r partialpartial r(r cdot 0) = 0
Simplificando:
partial vzpartial z = 0
Isso nos diz que a velocidade axial vz não varia com a posição z.

Passo 4

Agora, vamos olhar para as equações de movimento. Como o fluxo é unidirecional e apenas na direção axial ( vz), as derivadas em relação a r e z para as outras direções serão nulas. Além disso, como vr = 0, muitas das termos das equações originais vão desaparecer.

Passo 5

Focando na equação para vz, com vr = 0, temos:
partial vzpartial t = -1rho partial ppartial z + v ( 1r partialpartial r (r partial vzpartial r) + partial^2 vzpartial z^2 )
Como partial vzpartial z = 0 pela continuidade, as derivadas em z se anulam:
partial vzpartial t = -1rho partial ppartial z + v cdot 1r partialpartial r (r partial vzpartial r)

Passo 6

A equação final simplificada para o escoamento unidirecional axi-simétrico fica assim:
partial vzpartial t = -1rho partial ppartial z + v ( 1r partialpartial r (r partial vzpartial r) )
Essa é uma versão mais simples das equações de movimento para o caso específico de escoamento unidirecional em um fluxo axi-simétrico.

Resposta

A formulação simplificada para o caso de escoamento unidirecional axi-simétrico é:
partial vzpartial t = -1rho partial ppartial z + v ( 1r partialpartial r (r partial vzpartial r) )

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