Considere um escoamento bidimensional laminar levemente inclinado
em relação à horizontal e sob a ação da gravidade:
Como a vazão deste escoamento poderia ser calculada?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um escoamento bidimensional laminar que está levemente inclinado em relação à horizontal e está sendo influenciado pela gravidade. Nosso objetivo é descobrir como calcular a vazão desse escoamento. Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de mecânica dos fluidos, como escoamento laminar, vazão, e como a inclinação e a gravidade afetam o movimento do fluido.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um escoamento laminar. Em escoamentos laminares, as partículas do fluido se movem em camadas paralelas, sem turbulência. Isso facilita a análise porque o movimento é mais previsível. Em nosso caso, o escoamento é bidimensional, ou seja, ocorre em duas direções, e está levemente inclinado, o que significa que há uma componente da gravidade que está ajudando ou atrapalhando o fluxo.

Passo 3

Agora, para calcular a vazão, precisamos entender a relação entre a velocidade do fluido e a área pela qual ele está passando. A vazão $ Q $ é dada pela integral da velocidade $ u(y) $ em relação à área. Matemáticamente, se a largura do canal for $ b $ e a altura for $ h $, a vazão pode ser expressa como:
Q
Aqui, $ u(y) $ é a velocidade do fluido na posição $ y $ perpendicular à direção do fluxo.

Passo 4

Para encontrar $ u(y) $, usamos a equação de Navier-Stokes simplificada para escoamento laminar em regime estacionário e bidimensional. A equação básica que relaciona a velocidade, a viscosidade $ \mu $, a inclinação do escoamento e a ação da gravidade é:
u(y)
Onde:
  • $ \rho $ é a densidade do fluido,
  • $ g $ é a aceleração da gravidade,
  • $ \theta $ é o ângulo de inclinação.

Passo 5

Integrando a equação diferencial duas vezes para encontrar $ u(y) $, temos:
Primeira integração:
u(y)
Segunda integração:
mu dudy = rho g sin(theta) y + C1
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes de integração que determinam as condições de contorno, geralmente que a velocidade é zero nas paredes do canal (condição de aderência).

Passo 6

Aplicando as condições de contorno $ u(0) = 0 $ e $ u(h) = 0 $, encontramos os valores de $ C_1 $ e $ C_2 $:
Primeira condição:
u(0) = 0
Segunda condição:
u(h) = 0

Passo 7

Substituindo $ C_1 $ e $ C_2 $ na expressão de $ u(y) $:
C1
Simplificando:
C2

Passo 8

Agora que temos a expressão para a velocidade $ u(y) $, vamos calcular a vazão $ Q $:
u(y)
Factorando constantes:
Q

Passo 9

Calculando a integral:
integral0^h (y^2 - h y) , dy = [ y^33 - h y^22 ]0^h = h^33 - h^32 = -h^36
Mas como a vazão é positiva, consideramos o valor absoluto:
Q = rho g sin(theta) b2 mu cdot h^36 = rho g sin(theta) b h^312 mu

Resposta

A vazão do escoamento pode ser calculada pela fórmula:
Q = rho , g , sin(theta) , b , h^312, mu

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