Determine o plano tangente a superfície no ponto dado.
(i)
(i)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para determinar o plano tangente à superfície definida por
no ponto
. A matéria envolvida aqui é cálculo multivariável, especificamente o conceito de plano tangente a uma superfície. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais e a fórmula do plano tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação da superfície para colocar tudo em um lado, igualando a zero. Assim, temos:
Isso nos ajuda a identificar a função
que define a superfície.
Passo 3
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a cada uma das variáveis:
,
e
. Essas derivadas nos darão a direção de cada eixo no plano tangente.
As derivadas parciais são:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular o valor dessas derivadas no ponto específico
. Substituindo
,
e
nas equações das derivadas, temos:
Passo 5
Agora que temos as derivadas parciais no ponto dado, podemos usar a fórmula do plano tangente. A fórmula geral é:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Resposta
O plano tangente à superfície no ponto
é dado por:
Ou, de forma simplificada:
Exercícios relacionados
Determine o plano tangente a superfície no ponto dado.
(e) ,
(e)
Determine o plano tangente a superfície no ponto dado.
(a)
(a)
Considere o escoamento de um fluido em uma tubulação circular reta. A velocidade do escoamento, em
, é dada por
, considerando
pontos da seção transversal do tubo circular reto de raio
centrado na origem. Qual a velocidade média do escoamento?
Dê um exemplo de uma superfície no espaço cujo plano tangente no ponto
é
.