Determine o plano tangente a superfície no ponto dado.
(i)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para determinar o plano tangente à superfície definida por no ponto . A matéria envolvida aqui é cálculo multivariável, especificamente o conceito de plano tangente a uma superfície. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais e a fórmula do plano tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação da superfície para colocar tudo em um lado, igualando a zero. Assim, temos:
Isso nos ajuda a identificar a função que define a superfície.

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a cada uma das variáveis: , e . Essas derivadas nos darão a direção de cada eixo no plano tangente.
As derivadas parciais são:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o valor dessas derivadas no ponto específico . Substituindo , e nas equações das derivadas, temos:

Passo 5

Agora que temos as derivadas parciais no ponto dado, podemos usar a fórmula do plano tangente. A fórmula geral é:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:

Resposta

O plano tangente à superfície no ponto é dado por:
Ou, de forma simplificada:

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(e) ,
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(a)
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Dê um exemplo de uma superfície no espaço cujo plano tangente no ponto é .