Considere escoamento laminar completamente desenvolvido no espaço anular entre dois tubos concêntricos. O tubo externo é estacionário e o tubo interno move na direção
com velocidade
. Considere gradiente axial de pressão zero
. Obtenha uma expressão geral para a tensão de cisalhamento,
, como uma função do raio,
, em termos de uma constante,
. Obtenha uma expressão geral para o perfil de velocidade,
, em termos de duas constantes,
e
. Obtenha expressões para
e
.
Passo 1
Beleza, vamos analisar o que a questão está pedindo. Temos um escoamento laminar completamente desenvolvido num espaço anular entre dois tubos concêntricos. O tubo externo está parado, e o interno está se movendo na direção
com velocidade
. Além disso, o gradiente axial de pressão é zero (
).
A matéria principal aqui é a mecânica dos fluidos, especificamente o estudo de escoamentos laminares em geometria cilíndrica. Para resolver, vamos precisar aplicar as equações de Navier-Stokes simplificadas para esse tipo de escoamento e utilizar condições de contorno apropriadas para determinar as constantes de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos estabelecer a equação que descreve o equilíbrio de forças no escoamento. Como o gradiente de pressão axial é zero e consideramos que o escoamento é estável e laminar, a única força que atua é a tensão de cisalhamento (
).
A equação de equilíbrio para a tensão de cisalhamento num sistema cilíndrico é dada por:
Isso significa que
é constante. Vamos chamar essa constante de
:
Então, a tensão de cisalhamento
em função do raio
é:
Passo 3
Agora, precisamos relacionar a tensão de cisalhamento com o perfil de velocidade
. Sabemos que:
Onde
é a viscosidade dinâmica do fluido. Substituindo
pela expressão que encontramos:
Rearranjando para isolar
:
Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar
:
Isso resulta em:
Portanto, o perfil de velocidade
em função do raio
é:
Passo 4
Para determinar as constantes
e
, vamos aplicar as condições de contorno do problema.
- Condição 1: No tubo interno (
), a velocidade do fluido deve ser igual à velocidade do tubo, ou seja, :
- Condição 2: No tubo externo (
), o tubo está estacionário, então a velocidade do fluido é zero :
Agora, temos um sistema de duas equações para duas incógnitas
e
.
Vamos resolver o sistema:
Da segunda equação:
Substituindo
na primeira equação:
Fatorando
:
Resolvendo para
:
Agora, substituímos
em
:
Resposta
As expressões finais são:
- Tensão de cisalhamento:
- Perfil de velocidade:
Portanto, substituindo
e
:
Simplificando:
Então, o perfil de velocidade final é: