Considere escoamento laminar completamente desenvolvido no espaço anular entre dois tubos concêntricos. O tubo externo é estacionário e o tubo interno move na direção x com velocidade V. Considere gradiente axial de pressão zero (partial p / partial x=0). Obtenha uma expressão geral para a tensão de cisalhamento, tau, como uma função do raio, r, em termos de uma constante, C1. Obtenha uma expressão geral para o perfil de velocidade, u(r), em termos de duas constantes, C1 e C2. Obtenha expressões para C1 e C2.

Passo 1

Beleza, vamos analisar o que a questão está pedindo. Temos um escoamento laminar completamente desenvolvido num espaço anular entre dois tubos concêntricos. O tubo externo está parado, e o interno está se movendo na direção com velocidade . Além disso, o gradiente axial de pressão é zero ( ).
A matéria principal aqui é a mecânica dos fluidos, especificamente o estudo de escoamentos laminares em geometria cilíndrica. Para resolver, vamos precisar aplicar as equações de Navier-Stokes simplificadas para esse tipo de escoamento e utilizar condições de contorno apropriadas para determinar as constantes de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos estabelecer a equação que descreve o equilíbrio de forças no escoamento. Como o gradiente de pressão axial é zero e consideramos que o escoamento é estável e laminar, a única força que atua é a tensão de cisalhamento ( 1r ddr ( r tau ) = 0 ).
A equação de equilíbrio para a tensão de cisalhamento num sistema cilíndrico é dada por:
r tau = C1 Rightarrow tau(r) = C1r
Isso significa que tau(r) = C1r é constante. Vamos chamar essa constante de :
Então, a tensão de cisalhamento em função do raio é:

Passo 3

Agora, precisamos relacionar a tensão de cisalhamento com o perfil de velocidade tau(r) = mu dudr . Sabemos que:
C1r = mu dudr
Onde dudr = C1mu r é a viscosidade dinâmica do fluido. Substituindo integral dudr , dr = integral C1mu r , dr pela expressão que encontramos:
u(r) = C1mu ln(r) + C2
Rearranjando para isolar u(r) = C1mu ln(r) + C2 :
Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar :
Isso resulta em:
Portanto, o perfil de velocidade em função do raio é:

Passo 4

Para determinar as constantes V = C1mu ln(r1) + C2 e 0 = C1mu ln(r2) + C2 , vamos aplicar as condições de contorno do problema.
  1. Condição 1: No tubo interno ( C2 = -C1mu ln(r2) ), a velocidade do fluido deve ser igual à velocidade do tubo, ou seja, V = C1mu ln(r1) - C1mu ln(r2) :
V = C1mu ( ln(r1) - ln(r2) ) = C1mu ln( r1r2 )
  1. Condição 2: No tubo externo ( C1 = V muln( r1r2 ) ), o tubo está estacionário, então a velocidade do fluido é zero C2 = -V muln( r1r2 ) cdot 1mu ln(r2) = -V ln(r2)ln( r1r2 ) :
Agora, temos um sistema de duas equações para duas incógnitas e .
Vamos resolver o sistema:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Fatorando :
Resolvendo para :
Agora, substituímos em :

Resposta

As expressões finais são:
  1. Tensão de cisalhamento:
tau(r) = C1r onde C1 = V muln( r1r2 )
  1. Perfil de velocidade:
u(r) = C1mu ln(r) + C2 onde C2 = -V ln(r2)ln( r1r2 )
Portanto, substituindo u(r) = V mumu ln( r1r2 ) ln(r) - V ln(r2)ln( r1r2 ) = V ln(r)ln( r1r2 ) - V ln(r2)ln( r1r2 ) e u(r) = V ln( rr2 )ln( r1r2 ) :
u(r) = V ln( rr2 )ln( r1r2 )
Simplificando:
Então, o perfil de velocidade final é:

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