Considere o escoamento de óleo a
em um oleoduto de 30 cm de diâmetro com uma velocidade média de
. A seção horizontal de 200 m de comprimento do oleoduto passa por um lago de água gelada a
. As medições indicam que a temperatura da superfície do tubo fica no entorno de
. Não considerando a resistência térmica do material do tubo, determine: (a) a temperatura do óleo quando o tubo sai do lago; (b) a taxa de transferência de calor a partir do óleo.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos óleo fluindo a 20°C em um tubo com diâmetro de 30 cm e velocidade média de 2 m/s. Uma parte do tubo, com 200 m de comprimento, está submersa em um lago com água a 0°C, fazendo com que a superfície do tubo também esteja a 0°C. Não vamos considerar a resistência térmica do material do tubo. Precisamos calcular: (a) a nova temperatura do óleo ao sair do lago; (b) a taxa de transferência de calor a partir do óleo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de transferência de calor por condução e convecção, além da equação de calor.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o calor será transferido do óleo quente para a água fria através do tubo. A quantidade de calor transferido depende da diferença de temperatura, da área de contato e do tempo de contato. Vamos calcular a área de superfície do tubo que está em contato com a água.
Passo 3
O tubo é cilíndrico, então a área de superfície (A) pode ser calculada usando a fórmula:
Onde $ d $ é o diâmetro do tubo e $ L $ é o comprimento do trecho submerso.
Substituindo os valores:
Passo 4
Agora, precisamos calcular o tempo que o óleo leva para passar pelos 200 m do lago. Sabemos que a velocidade média do óleo ($ v
t $) é dado por:
Substituindo:
Passo 5
Para determinar a temperatura final do óleo, precisamos considerar que o calor perdido pelo óleo ($ Q
c $) e a variação de temperatura:
Onde $ m $ é a massa do óleo, $ c $ é a capacidade térmica do óleo, e $ \Delta T $ é a mudança de temperatura.
Passo 6
A massa de óleo que passa pelo trecho é dada por:
Onde $ \rho $ é a densidade do óleo e $ V $ é o volume, que pode ser calculado como:
Sabendo que a área de seção transversal do tubo é:
Então:
Assumindo uma densidade do óleo ($ \rho $) de aproximadamente 800 kg/m³:
Passo 7
Agora, vamos usar a equação de transferência de calor:
Onde $ h $ é o coeficiente de transferência de calor, $ A $ é a área de contato, $ \Delta T $ é a diferença de temperatura, e $ t $ é o tempo.
Rearranjando para encontrar $ \Delta T $:
Mas também temos:
Igualando as duas expressões:
Cancelando $ \Delta T $ (assumindo que não é zero):
Resolvendo para $ \Delta T $:
Passo 8
Para continuar, precisamos dos valores do coeficiente de transferência de calor ($ h
c $). Considerando valores típicos:
Substituindo:
Passo 9
Isso significa que o óleo perde aproximadamente 0,0417°C ao passar pelos 200 m no lago. Portanto, a temperatura do óleo ao sair do lago é:
Resposta
(a) A temperatura do óleo ao sair do lago é aproximadamente 19,96 °C.
(b) A taxa de transferência de calor a partir do óleo é cerca de 942,5 W.
(b) A taxa de transferência de calor a partir do óleo é cerca de 942,5 W.