Dada a equação abaixo explique o significado físico de cada um dos seus termos
partial Npartial t) Sistema =partialpartial t integralforall C rho eta d forall+integralS C rho eta V cdot d A

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nessa equação que você trouxe. A questão pede para a gente explicar o significado físico de cada um dos seus termos. Essa equação está relacionada com conservação de quantidade em um sistema, como massa, energia ou quantidade de movimento. Para entender isso, vamos precisar lembrar um pouco sobre cálculo de derivadas parciais e integrais de superfície e volume.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o lado esquerdo da equação:
partial Npartial t)Sistema
Aqui, temos a derivada parcial de $ N $ em relação ao tempo dentro do sistema. Isso significa que estamos observando como a quantidade $ N $ (pode ser massa, energia, etc.) está mudando com o tempo dentro do sistema que estamos analisando.

Passo 3

Agora, vamos para o primeiro termo do lado direito:
partialpartial t integralforall C rho eta , dforall
Esse termo envolve uma derivada temporal de uma integral de volume ($ \int $) sobre a região controlada $ C $.
  • $ \rho $ representa a densidade do que estamos considerando (por exemplo, densidade de massa).
  • $ \eta $ é uma quantidade específica que está sendo conservada (como energia por unidade de massa).
  • $ d\forall $ é um elemento infinitesimal de volume.
Então, esse termo está medindo como a quantidade total $ N $ dentro do volume $ C $ está mudando com o tempo.

Passo 4

O segundo termo do lado direito é:
integralS C rho eta V cdot dA
Aqui temos uma integral de superfície ($ \int_{S C} $) sobre a fronteira $ SC $ do controle $ C $.
  • $ \vec{V} $ é a velocidade do fluido ou do material que está atravessando a superfície.
  • $ d\vec{A} $ é um elemento infinitesimal de área na superfície, com uma direção normal à superfície.
O ponto ($ \cdot $) entre $ \vec{V} $ e $ d\vec{A} $ indica o produto escalar, que calcula a parte da velocidade que está atravessando a superfície.
Esse termo representa a taxa de fluxo de $ N $ que está saindo ou entrando do sistema através da superfície $ SC $.

Passo 5

Juntando tudo, a equação está balanceando as mudanças internas de $ N $ com os fluxos que entram e saem do sistema.
  • O lado esquerdo mostra como $ N $ dentro do sistema muda com o tempo.
  • O primeiro termo do lado direito indica como $ N $ está acumulando dentro do sistema.
  • O segundo termo do lado direito representa como $ N $ está sendo transportado para fora ou entrando no sistema através da superfície.

Resposta

Essa equação expressa a conservação da quantidade $ N $ no sistema, mostrando que a taxa de mudança de $ N $ dentro do sistema é igual à taxa de acumulação dentro do volume mais o fluxo de $ N $ que atravessa a superfície do sistema.

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