Considere uma esfera e uma camada esférica concêntricas, ambas condutoras. A camada externa é oca e tem inicialmente uma carga de
. A esfera interna é maciça e tem carga de
.
a) Como é a distribuição da carga na camada ? Isto é, quais os valores das cargas nas suas faces interna e externa da camada?
b) Calcule o campo entre elétrico entre a esfera e a camada.
c) suponha que um fio condutor seja conectado entre a esfera e a camada. Após o equilíbrio eletrostático ser estabelecido, qual o valor da carga na camada esférica?
d) aterrando-se a camada externa com um fio condutor (antes da conexão do item c) e, em seguida desconectando-a, qual o valor total da carga na camada?
e) quais serão os novos valores das cargas nas faces interna e externa da camada?
a) Como é a distribuição da carga na camada ? Isto é, quais os valores das cargas nas suas faces interna e externa da camada?
b) Calcule o campo entre elétrico entre a esfera e a camada.
c) suponha que um fio condutor seja conectado entre a esfera e a camada. Após o equilíbrio eletrostático ser estabelecido, qual o valor da carga na camada esférica?
d) aterrando-se a camada externa com um fio condutor (antes da conexão do item c) e, em seguida desconectando-a, qual o valor total da carga na camada?
e) quais serão os novos valores das cargas nas faces interna e externa da camada?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas estruturas condutoras concêntricas: uma esfera interna maciça com carga
e uma camada esférica externa oca com carga inicial de
. O conteúdo principal aqui envolve conceitos de eletrostática, especificamente a distribuição de cargas em condutores e o campo elétrico gerado por essas cargas. Para resolver os itens a) a e), vamos precisar entender como as cargas se distribuem em condutores quando estão em equilíbrio eletrostático e usar a Lei de Gauss para calcular o campo elétrico.
Passo 2
Vamos começar com a letra a): Como é a distribuição da carga na camada? Quais são os valores das cargas nas suas faces interna e externa?
Primeiro, sabemos que em um condutor em equilíbrio eletrostático, as cargas livres se distribuem de forma que o campo elétrico no interior do material condutor seja zero. No caso de uma camada esférica oca concêntrica com uma esfera interna, a carga na face interna da camada deve anular o campo elétrico da carga presente na esfera interna.
A teoria por trás disso é que a carga induzida na face interna da camada será igual em magnitude e oposta à carga da esfera interna para garantir que o campo dentro do condutor seja zero. A carga total na camada é a soma das cargas na face interna e externa.
Então, temos:
- Carga na face interna da camada:
(para neutralizar da esfera interna) - Carga na face externa da camada:
(a carga total inicial menos a carga induzida na face interna)
Passo 3
Agora, vamos para a letra b): Calcule o campo elétrico entre a esfera e a camada.
Para calcular o campo elétrico na região entre a esfera interna e a camada, usamos a Lei de Gauss. Considerando uma superfície gaussiana esférica de raio
entre os dois condutores, o campo elétrico
pode ser calculado usando:
Onde
é a carga total dentro da superfície gaussiana, que nesse caso é apenas a carga da esfera interna,
.
Portanto:
Passo 4
Vamos passar para a letra c): Suponha que um fio condutor seja conectado entre a esfera e a camada. Após o equilíbrio eletrostático ser estabelecido, qual o valor da carga na camada esférica?
Quando conectamos um fio condutor entre a esfera e a camada, as cargas podem se redistribuir para igualar o potencial entre os dois condutores. Como a esfera é maciça, vamos supor que ela possa receber ou doar cargas sem mudar significativamente.
A carga total do sistema antes da conexão é
. Como os condutores estarão em equilíbrio, as cargas se distribuirão de forma que a carga na camada permanecerá igual, pois a esfera é maciça e não perde sua carga inicial. Portanto, a carga na camada permanece
.
Passo 5
Agora, para a letra d): Aterrando-se a camada externa com um fio condutor (antes da conexão do item c) e, em seguida, desconectando-a, qual o valor total da carga na camada?
Aterrando a camada significa que ela pode trocar carga com a Terra, que é um reservatório de carga com potencial constante.
Inicialmente, a camada tem uma carga de
. Ao ser aterrada, a camada irá ajustar sua carga para que seu potencial seja zero. A carga na esfera interna é
, então a carga induzida na face interna da camada será
para neutralizar o campo interno. Isso deixa a carga na face externa da camada para ser
.
Ao aterrarmos, a camada pode ganhar ou perder cargas na face externa para que o potencial total seja zero. No entanto, como queremos que o potencial da camada seja zero e a esfera tem
, a camada precisa ter uma carga total de
para neutralizar o potencial da esfera.
Portanto, após o aterramento e desconexão, a carga total na camada é
.
Passo 6
Finalmente, para a letra e): Quais serão os novos valores das cargas nas faces interna e externa da camada?
Com a carga total da camada sendo
após o aterramento:
- Carga na face interna:
(para neutralizar a esfera interna de ) - Carga na face externa:
(não há carga residual na face externa após o aterramento)
Resposta
a) Distribuição das cargas na camada:
- Carga na face interna:
- Carga na face externa:
b) Campo elétrico entre a esfera e a camada:
c) Carga na camada após conectar a esfera e a camada:
d) Carga total na camada após aterramento e desconexão:
e) Novos valores das cargas nas faces da camada:
- Carga na face interna:
- Carga na face externa: